Par l'expréssion donnée de T(jω):
[tex]T(j\omega)=\dfrac{R}{R+\dfrac{1}{C\omega j}}\\\\T(j\omega)=\dfrac{R}{~~\dfrac{RC\omega j+1}{C\omega j}~~}\\\\T(j\omega)=\dfrac{RC\omega j}{RC\omega j+1}=\dfrac{RC\omega j}{RC\omega j+1}\times\dfrac{j}{j}\\\\T(j\omega)=\dfrac{RC\omega j^2}{RC\omega j^2+j}~~~~~~~(\text{Mais},~j^2=-1)\\\\T(j\omega)=\dfrac{-RC\omega}{-RC\omega+j}\\\\\boxed{T(j\omega)=\dfrac{RC\omega}{RC\omega -j}}~~\blacksquare[/tex]
Si [tex]x=RC\omega[/tex], nous pouvons Ă©crire:
[tex]T(j\omega)=\dfrac{x}{x-j}=\dfrac{x}{x-j}\times\dfrac{x+j}{x+j}\\T(j\omega)=\dfrac{x(x+j)}{x^2-j^2}\\\\T(j\omega)=\dfrac{x(x+j)}{x^2+1}=\dfrac{x^2+xj}{x^2+1}\\\\T(j\omega)=\dfrac{x^2}{x^2+1}+\dfrac{x}{x^2+1}j[/tex]
Alors, le module de T(jω) est:
[tex]|T(j\omega)|=\sqrt{\left(\dfrac{x^2}{x^2+1}\right)^2+\left(\dfrac{x}{x^2+1}\right)^2}\\\\|T(j\omega)|=\sqrt{\dfrac{x^4}{(x^2+1)^2}+\dfrac{x^2}{(x^2+1)^2}}\\\\|T(j\omega)|=\sqrt{\dfrac{x^4+x^2}{(x^2+1)^2}}=\sqrt{\dfrac{x^2(x^2+1)}{(x^2+1)^2}}\\\\|T(j\omega)|=\sqrt{\dfrac{x^2}{x^2+1}}\\\\|T(j\omega)|=\dfrac{|x|}{\sqrt{x^2+1}}[/tex]
Mais [tex]|x|=|RC\omega|[/tex] et R, C et ω sont réels strictement positifs. Donc, [tex]|x|=x[/tex]:
[tex]\boxed{|T(j\omega)|=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}}~~\blacksquare[/tex]
