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Bonjour ;
1.
a.
- 2z_1 + 5z_2 = - 2(- 2 + 3i) + 5(4 - i)
= + 4 - 6i + 20 - 5i = 24 - 11i .
b.
z_1 x z_2 = (- 2 + 3i)(4 - i)
= - 8 + 2i + 12i - 3l² = - 8 + 14i + 3 = - 5 + 14i .
c.
z_1/z_2 = (- 2 + 3i)/(4 - i)
= {(- 2 + 3i)(4 + i)}/{(4 - i)(4 + i)}
= {- 8 - 2i + 12i + 3i²}/{4² - i²}
= {- 8 + 10i - 3}/{16 + 1}
= {- 11 + 10i}/{17} = - 11/17 + 10/17 i .
d.
(z_2)³ = (4 - i)³
= 4³ - 3 x 4² i + 3 x 4 x i² - i³
= 64 - 48i - 12 - (- i)
= 52 - 48i + i
= 52 - 47i .
2.
a.
Soit z = x + iy le nombre comlexe en question .
Sa partie réelle est égale à 3 , donc on a : x = 3 ;
il est égal à son conjugué , donc on a : 3 + iy = 3 - iy
donc : iy = - iy ;
donc : 2iy = 0 ;
donc : y = 0 .
Conclusion : z = 3 .
b.
Soit z = x + iy .
Ce nombre est opposé à son conjugué ,
donc on a : x + iy = - (x - iy) = - x + iy ;
donc : x = - x ;
donc : 2x = 0 ;
donc : x = 0 ;
donc : z = iy ;
donc z est un imaginaire pur .
c.
Soit z = x + iy .
L'inverse de ce nombre est égal à son opposé ;
donc on a : 1/(x + iy) = - (x + iy) ;
donc : 1 = - (x + iy)² = - (x² - y² + 2ixy) = -x² + y² - 2ixy ;
donc : y² - x² = 1 et xy = 0 ;
donc : y² - x² = 1 et (x = 0 ou y = 0) .
Si x = 0 , on a : y² = 1 ;
donc : y = 1 ou y = - 1 ;
donc : z = i ou z = - i .
Si y = 0 , on a : - x² = 1 ;
donc : x² = - 1 , ce qui est absurde .
Conclusion : On a z = i ou z = - i .
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