f(x) fonction polynôme du second degré
f(x) peut s'écrire
f(x) = ax² + bx + c (1)
f(x) = a(x - x1)(x - x2) (2) forme factorisée
f(x) = a(x - α)² + β (3) forme canonique
a)
P a pour sommet S(3 ; 1) et passe par le point A(1 ; 9)
lorsque l'on connaît le sommet on utilise la forme canonique
f(x) = a(x - α)² + β
α et β sont les coordonnées du sommet
f(x) = a( x - 3)² + 1
pour calculer a on écrit que la parabole passe par A
f(1) = 9
f(1) c'est a(1 - 3)² + 1
d'où l'équation
a(1 - 3)² + 1 = 9
a = 2
f(x) = 2( x - 3)² + 1
b)
on connaît les abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses, c'est à dire les racines du polynôme
en effet f(3) = 0 et f(6) = 0
on utilise la forme factorisée
f(x) = a(x - x1)(x - x2) ; x1 = 3 et x2 = 6
f(x) = a(x - 3)(x - 6)
on calcule a en écrivant que la parabole passe par C(7; - 4)
f(7) = - 4
a(x - 3)(x - 6) = - 4
a(7 - 3)(7 -6) = - 4
a = -1
f(x) = - (x - 3)(x - 6)
c)
on connaît 3 points, on utilise la forme (1) f(x) = ax² + bx + c
A(1 ; 8) ; B(-1 ; 6) ; C(2; 0)
f(1) = 8 ; f(-1) = 6 ; f(2) = 0
a + b + c = 8 (3)
a - b + c = 6 (4)
a*2² + 2b + c = 0 soit 4a + 2b + c = 0 (5)
il faut résoudre ce système de 3 équations à 3 inconnues
je ne sais pas comment on t'a appris à résoudre ces systèmes
voici une méthode
je tire a de (3) et je porte dans (4)
a = 8 - b - c
(8 - b - c) - b + c = 6 on trouve b = 1
on remplace b par 1 dans (3) et (5)
a + b + c = 8 (3) -----> a + c = 7 (6)
4a + 2b + c = 0 (5) ----> 4a + 2 + c = 0 ---> 4a + c = -2 (7)
on résout ce dernier système
on trouve a = -3 et c = 10
f(x) = -3x² + x + 10
