Réponse:
1. p(A1) est la probabilité que le temps soit ensoleillé le 1er jour.
p(A1)=1-2/3
p(A1)= ⅓
2. voir photo
3.
A1 et Ā1 forment une partition de l'univers, donc d'apres la formule des probabilités totales
p(A2)= p(A1nA2) + p(Ā1nA2)
p(A2)= p(A1)×pA1(A2) + p(Ā1)×pĀ1(A2)
p(A2)= ⅓×½ + ⅔×⅓
p(A2)= 7/18
4. voir photo
5. Formule des probabilités totales :
aₙ+₁ = p(An+1) =
p(An n An+1) + p(Ān n An+1) =
aₙ×½ + (1-aₙ)⅓=
aₙ/2-aₙ/3 + ⅓ =
aₙ/6 + ⅓
pour tout n≥1
6.
bₙ+₁ = aₙ+₁ - 2/5
bₙ+₁ = aₙ/6 +⅓ -2/5
bₙ+₁ = aₙ/6 -1/15
bₙ+₁ / bₙ = (aₙ/6 -1/15)/(aₙ -2/5)
= 1/6(aₙ-2/5)/(aₙ -2/5)
= 1/6
la suite (bₙ) est géométrique de raison 1/6 et de terme initial b1 = a1 - 2/5 = 1/3-2/5 =-1/15
7.
bₙ = b1×qⁿ⁻¹
bₙ = -1/15 × (1/6)ⁿ⁻¹
pour tout n ≥ 1
aₙ = bₙ + ²/₅
aₙ = -1/15 × (1/6)ⁿ⁻¹ + ²/₅
pour tout n ≥ 1
8.
aₙ+₁ - aₙ = -1/15 × (1/6)ⁿ + ²/₅ -( -1/15 × (1/6)ⁿ⁻¹ + ²/₅)
aₙ+₁ - aₙ = -1/15 × (1/6)ⁿ + 1/15 × (1/6)ⁿ⁻¹
aₙ+₁ - aₙ = -1/15 ×(1/6)ⁿ [1 - (1/6)-¹]
aₙ+₁ - aₙ = -1/15 ×(1/6)ⁿ×(-5)
aₙ+₁ - aₙ = 1/3 ×(1/6)ⁿ
aₙ+₁ - aₙ ≥ 0
la suite (aₙ) est croissante pour tout n≥ 1
