Réponse :
Explications étape par étape
Partie À
g(x)=2x^3+x^2 -1
Domaine de définition R
Limités
x tend vers -oo, g(x) tend vers-oo; x tend vers +oo , g(x) tend vers +oo
Dérivée g’(x)=6x^2 +2x=2x(3x+1)
Cette dérivée s‘annule pour x=0 et x=-1/3
Tableau de signes de g’(x) et de variations de g(x)
x....-oo...........................-1/3................................0.................................+oo
g’(x)...............+.................0..............._.................0................+...................
g(x)-oo......croi...............-26/27.......decroi......-1............croi..............+oo
On note que g(x)=0 admet une et une seule solution alpha comprise entre 0 et 1
Calcule cette valeur de alpha avec ta calculatrice
Vu le tableau de variations g(x)<0 sur ]-oo, alpha[ et >0 sur ]alpha, +oo[
Partie B
f(x)=(1/3)(x^2+x+1/x)
Domaine de définition Df=R*
Limites
x tend vers-oo, f(x)tend vers +oo
X tend vers +oo, f(x) t end vers +oo
x tend vers 0-, f(x) tend vers -oo
x tend vers 0+, f(x) tend vers +oo
Dérivée f’(x)=(1/3)(2x+1-1/x^2)=(2x^3 +x^2-1)/3x^2
On note que f’(x)=g(x)/3x^2 donc f’(x) est du signe de g(x)
Tableau
x....-oo............................0....................................alpha...............................+oo
f’(x)..................-...................................-......................0...............+.....................
f(x) +oo......decr....-ooII+oo........decr...............f(alpha)........croi............+oo
Partie C
h(x)=(1/3)(x^2+x)
Df=R
Limites si x tend vers -oo ou +oo , h(x) tend vers +oo
h(x)-f(x)=-1/3x
Si x<0 , -1/3x est>0 donc h et au dessus de f; si x>0, -1/3x est<0donc h est en dessous de f
Equation de la tangente
y=f’(1)(x-1)+f(1) il suffit de remplacer développer et réduire.