Réponse:
[tex] - 1 \leqslant sin(x) \leqslant 1[/tex]
x >0
[tex] - x \leqslant xsin(x) \leqslant x[/tex]
[tex] - x + {x}^{2} \leqslant xsin(x) + {x}^{2} \leqslant x + {x}^{2} [/tex]
x²+1>0
[tex] \frac{ - x + {x}^{2}}{x^{2} + 1} \leqslant \frac{xsin(x) + {x}^{2} }{x^{2} + 1} \leqslant \frac{x + {x}^{2} }{x^{2} + 1}[/tex]
[tex]lim \frac{ - x + {x}^{2} }{ {x}^{2} + 1 } = lim \frac{1 - \frac{1}{x} }{1 + \frac{1}{ {x}^{2} } } = 1[/tex]
[tex]lim \frac{ x + {x}^{2} }{ {x}^{2} + 1 } = lim \frac{1 + \frac{1}{x} }{1 + \frac{1}{ {x}^{2} } } = 1[/tex]
(on rajoute x→+∞ sous les lim)
D'apres le théorème d'encadrement
lim g(x) = 1
x→+∞
