Réponse : Bonsoir,
1) Initialisation: A l'ordre n=0, [tex]u_{0}=1 \in [0;1][/tex], donc c'est vérifié à l'ordre n=0.
Hérédité: Supposons la propriété vraie à l'ordre n, c'est à dire que [tex]u_{n} \in [0;1][/tex], et montrons là à l'ordre n+1, c'est à dire que [tex]u_{n+1} \in [0;1][/tex].
On remarque que [tex]u_{n+1}=f(u_{n})[/tex], avec [tex]f(x)=x-\frac{1}{3}x^{3}[/tex].
Étudions les variations de f.
Pour cela, on calcule la fonction dérivée f':
[tex]f'(x)=1-\frac{1}{3}3x^{2}=1-x^{2}=(1-x)(1+x)[/tex].
On a le tableau suivant:
x -∞ -1 1 +∞
1-x + + Ф -
1+x - Ф + +
f'(x) - Ф + Ф -
f(x) (décroissant) (croissant) (décroissant)
Sur l'intervalle [0;1], f est croissante et f(0)=0, et f(1)=[tex]1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}[/tex], on en déduit que pour tout [tex]x \in [0;1], f(x) \in [0;\frac{2}{3}][/tex].
D'après l'hypothèse de récurrence:
[tex]0 \leq u_{n} \leq 1\\f(0) \leq f(u_{n}) \leq f(1)\\0 \leq u_{n+1} \leq \frac{2}{3}[/tex].
On a donc montré que [tex]u_{n+1} \in [0;\frac{2}{3}][/tex], et ce dernier intervalle est inclus dans l'intervalle [0;1], donc par extension, [tex]u_{n+1} \in [0;1][/tex].
La propriété est vérifiée à l'ordre n+1, donc pour tout entier naturel n, [tex]u_{n} \in [0;1][/tex].
2) On calcule la différence [tex]u_{n+1}-u_{n}[/tex]:
[tex]u_{n+1}=u_{n}-\frac{1}{3}(u_{n})^{3}\\u_{n+1}-u_{n}=-\frac{1}{3}(u_{n})^{3}[/tex].
Pour tout entier naturel n, [tex]u_{n} \in [0;1][/tex], donc [tex]u_{n+1}-u_{n} \leq 0[/tex], donc [tex]u_{n+1} \leq u_{n}[/tex], la suite [tex](u_{n})[/tex] est donc décroissante.
3) La suite [tex](u_{n})[/tex] est décroissante et minorée par 0, elle est donc décroissante.
[tex]u_{n+1}=f(u_{n})[/tex] et f est continue sur [tex]\mathbb{R}[/tex], donc en notant [tex]l[/tex], la limite de [tex](u_{n})[/tex], cette limite vérifie l'équation [tex]l=f(l)[/tex], on a donc:
[tex]l=f(l)\\l=l-\frac{1}{3}l^{3}\\l-l=-\frac{1}{3}l^{3}\\ 0=-\frac{1}{3}l^{3}\\ l^{3}=0\\l=0[/tex].
Donc [tex]\lim_{n \mapsto +\infty} u_{n}=0[/tex].