Explications étape par étape:
1- Ici aucune difficulté, il suffit de remplacer n par les valeurs demandées, ça donne donc :
u1 = u0 / (3u0 +1) = 2/7. u2 = u1 / (3u1 +1) = (2/7) / (6/7 +1) = (2/7) / (13/7) = 2/13. u3 = (2/13) / (6/13 + 1) = (2/13) / (19/13) = 2/19.
Puis pour la suite vn, on aura :
v1 = 1/u1 = 7/2. v2 = 1/u2 = 13/2 et v3 = 1/u3 = 19/2.
2- Demontrons que vn est arithmétique, pour cela il faut prouver que la différence v(n+1) - vn est constante. On a v(n+1) = 1/u(n+1) = (3un +1) / un = 3 + (1/un) en simplifiant par un (on peut le faire car un est différent de 0). Donc v(n+1) = 3 + (1/un) = 3 + vn donc v(n+1) - vn = 3.
Finalement, vn est une suite arithmétique de raison r= 3 et de 1er terme v0 = 1/u0 = 1/2.
3- Par définition d'une suite arithmétique, on a vn = v0 + nr avec r raison de la suite, ce qui équivaut à vn = 1/2 + 3n.
Comme vn = 1/un on a un = 1/vn = 1 / (3n + 1/2) = 1 / ( (6n+1) /2) = 2 / (6n+1).
