Réponse : Bonjour,
I milieu de [DA]: [tex]\overrightarrow{DI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}[/tex].
L milieu de [AB]: [tex]\overrightarrow{AL}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}[/tex].
K milieu de [CB]: [tex]\overrightarrow{CK}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}[/tex].
J milieu de [CD]: [tex]\overrightarrow{CJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}[/tex].
Prouvons maintenant que [tex]\overrightarrow{IL}=\overrightarrow{JK}[/tex]:
D'après la troisième égalité: [tex]\overrightarrow{KC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}[/tex].
D'après la relation de Chasles: [tex]\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{CJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{KJ}[/tex].
D'après la première égalité: [tex]\overrightarrow{DL}+\overrightarrow{LI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}\\ \overrightarrow{IL}=\overrightarrow{DL}-\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DL}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DL}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DL}\\\\ =\frac{1}{2}\overrightarrow{AL}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DL}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BL}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BL})[/tex].
[tex]\overrightarrow{IL}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BL}+\overrightarrow{DB})\\Or \; 2\overrightarrow{BL}=\overrightarrow{BA}\\Donc \; \overrightarrow{IL}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DB})=\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}[/tex].
Or on avait trouvé que [tex]\overrightarrow{KJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}[/tex], donc [tex]\overrightarrow{JK}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}[/tex].
Par suite, [tex]\overrightarrow{IL}=\overrightarrow{JK}[/tex].
