Réponse :
1) a) justifier que Cf est au dessus de Cg
f(x) - g(x) = 1/x) - 1/(x+1) = (x + 1 - x)/x(x+1) = 1/x(x+1)
or x ≥ 1 ⇒ x > 0 puisque x ≠ 0
x + 1 ≥ 2 ⇒ x + 1 > 0 puisque x ≠ - 1
donc x(x + 1) > 0 ⇒ 1/x(x+1) > 0
donc f(x) - g(x) > 0 donc la courbe Cf est au-dessus de Cg
b) justifier que MN = 1/n) - 1/(n+1)
M(n ; 1/(n+1))
N(n ; 1/n)
MN² = ( n - n)² + ((1/n) -1/(n+1))² ⇒ MN = √[(1/n) - 1/(n+1)]² = 1/n) - 1/(n+1)
2) la suite (Un) est définie pour tout n ≥ 1 par Un = 1/n) - 1/(n+1)
a) calculer Un+1 en fonction de n
Un+1 = (1/(n+1) - 1/((n+1) + 1)
= 1/(n+1) - 1/(n+2)
b) démontrer que Un+1/Un = n/(n+2)
Un+1/Un = [1/(n+1) - 1/(n+2)]/((1/n) - 1/(n+1))
= [(n+2) - (n + 1)]/((n+1)(n+2)/[(n+1) - n]/n(n+1)
= 1/(n+1)(n+2)/1/n(n+1)
= n(n+1)/(n+1)(n+2)
= n/(n+2)
c) déduis-en le sens de variations de la suite (Un)
puisque Un+1/Un = n/n+2 or n ≥ 1 donc n > 0 et n +2 ≥ 3 donc n+2 > 0 donc n/(n+2) > 0 ⇒ Un+1/Un > 0 donc la suite (Un) est croissante sur N
3) a) vérifier que ln = U1 + U2 + .... + Un = 1 - 1/(n+1)
= (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + .... + (1/n - 1/(n + 1))
= 1 + 1/2 + 1/3 + ....+ 1/n) - (1/2 + 1/3 + ....+ 1/n + 1/(n+1)
= 1 - 1/(n+1)
b) pourquoi ln < 1 pour tout entier naturel n ≥ 1 ?
ln = 1 - 1/(n+1)
n ≥ 1 ⇒ n + 1 ≥ 2 ⇒ 1/(n+1) ≥ 1/2 donc - 1/(n+1) ≤ - 1/2 ⇔ 1 - 1/(n+1) ≤ - 1/2)+1
donc 1 - 1/(n+1) ≤ 1/2 donc ln < 1
Explications étape par étape
