Réponse :
Explications étape par étape :
■ bonjour ... as-Tu tenté de démarrer ?
■ Uo = 2 ; U1 = 0,5*(2+1,5) = 0,5*3,5 = 1,75 ;
U2 ≈ 0,5*(1,75+1,714) ≈ 1,732 ; ...
■ comme Uo est positif, tous les termes de la suite(Un) sont bien positifs .
Un+1 = 0,5*(Un²+3)/Un or Uo est positif donc Un est bien positif !
■ f(x) = (0,5x²+1) / x sur IR+* :
x --> 0+ 1 2 4 8 +∞
f(x) --> +∞ 1,5 1,5 2,25 4,125 +∞
on observe donc que la fonction f admet un minimum pour une valeur de x comprise entre 1 et 2 .
La dérivée f ' (x) = 0,5*(1- 2/x²) devient bien nulle pour x² = 2 ;
donc pour x = √2 ( puisque x est positif ! ) .
Tu peux ainsi conclure
La suite (Un) est donc bien toujours décroissante ... et convergera vers √2 .
