Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
J'espère que ce lond DM n'était pas pour ce matin !!
1)
En + et - infini : lim 2/(x²+1)=0 car on divise 2 par un nb très grand.
Donc limite en - et +inf de f(x)= lim x
lim f(x)=lim x=-inf
x-->-inf
lim f(x)=lim x=+inf
x-->+inf
2)
La dérivée de x est 1.
La dérivée de 1/u est -u'/u².
Ici u=x²+1 donc u '=2x
Dérivée de 2/(x²+1) ==>-2*2x/(x²+1)²
Dérivée de -2/(x²+1) ==>4x/(x²+1)²
Donc f '(x)=1 +4x/(x²+1)²
f '(x)=[(x²+1)²+4x] / (x²+1)²
f '(x)=(x^4 + 2x²+4x+1) / (x²+1)²
Tu développes : (x+1)(x^3-x²+3x+1) --->tu sais faire .
Et tu vas retrouver : x^4 + 2x²+4x+1
donc f '(x)= (x+1)(x^3-x²+3x+1) /(x²+1)²
3)
u(x)=x^3-x²+3x+1
u '(x)=3x²-2x+3
qui est > 0 entre les racines s'il y en a sinon u '(x) > 0 car le coeff de x² est > 0.
Δ=4-4*3*3=-32 < 0
u(x) passe donc par un minimum pour x=-b/2a=2/6=1/3
Tableau de variation de u(x):
x------->-inf...........................................................+inf
u '(x)-->..................+...............................+.....................
u(x)--->...........................C......................................
C=flèche qui monte
4)
lim u(x)=lim x^3=-inf
x--->-inf
lim u(x)=lim x^3=+inf
u(x) est continue et strictement croissante , passant de valeurs négatives pour x tendant vers -inf à des valeurs positives pour x tendant vers +inf. Donc d'après le théorème des Valeurs Intermédiaires , il existe un unique réel α tel que u(α)=0.
5)
u(-1)=-4 < 0
u(0)=1 > 0
Donc : -1 < α < 0
u(-0.3)=-0.017 < 0
u(-0.2)=0.352 > 0
Donc α ≈ -0.3 à 0.1 près.
6)
x------>-inf..............................α≈-0.3.................................+inf
u(x)---->....................-...............-0.017..........+......................
f '(x) est du signe de : (x+1)*u(x)
Tableau de variation de f(x) :
x----------->-inf......................-1.....................α..........................+inf
(x-1)------->.............-...............0...........+...................+.................
u(x)------->................-..........................-........0..........+..................
f '(x)------>..................+...........0...........-........0..........+........................
f (x)------>........................C......?.........D........?..........C...............
C=flèche qui monte
D=flèche qui descend.
f(-1)=-2
f(α) ≈ f(-0.3) ≈ -2.135
Voir courbe Cf jointe.
