Réponse :
Explications étape par étape
Soit tu connais les techniques traditionnelles, et tu essayes de t'en sortir avec des décompositions en éléments simples de ta fraction rationnelle, soit tu cherches une astuce (ce qu'on va faire). On procèdera à un changement de variable.
En examinant bien la fonction, ça nous fait penser à la dérivée de 1/u, qui est : (1/u)' = - u' / u². Posons u = 3x² + 3x +1 alors u' = du/dx = 6x + 3 = 3(2x+1).
En ajustant, on obtient : f(x) = u' / (3u²) = (1/3) * ( u' / u²) = (-1/3) * (- u' /u²).
La primitive de ta fonction f vaut F(x) avec F, primitive recherchée. Ici, d'après ce qui précède, on conclut :
F(x) = (-1/3) * (1 / 3x² + 3x +1) + K, avec K une constante. Sachant que F s'annule en x=1, on sait que F(1) = 0 donc (-1/7) + K = 0 ce qui équivaut à K = 1/7. Finalement, la primitive de f s'annulant en 1, c'est :
[tex]F(x) = (-\frac{1}{3} * \frac{1}{3x^2+3x+1} ) + \frac{1}{7}[/tex]
