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Une entreprise produit et vend chaque mois x milliers de tee-shirts, pour x appartenant à [0;50] .
On note C( x ) le coût total mensuel de production et R( x ) la recette mensuelle réalisée pour la vente de x tee-shirts. C( x ) et R( x ) sont exprimés en milliers d'euros. On suppose que toute la production est vendue entièrement par mois.
La fonction C est définie sur [0 ;50] par C( x )=0,2x^2+2x+80 .

1. Calculer le nombre de tee-shirts fabriqué correspondant à un coût de 200 milliers d'euros.
2. Le prix de vente P( x ) d'un tee-shirt, en euros, varie en fonction du nombre x de tee-shirts produits et vendus. On admet que P( x )=20−0,2x.
a. Démontrer que R( x )=−0,2x^2+20 x . b. Démontrer que le bénéfice mensuel B( x ) , exprimé en milliers d'euros, réalisé pour la production et la vente de x milliers de tee-shirts est définie sur [0;50] par B(x)=−0,4x^2+18 x−80 .
3. Déterminer la forme canonique de B( x ) .
4. En déduire la quantité de tee-shirts à produire pour que le bénéfice soit maximal. Quel est ce bénéfice ?
5. Résoudre l'inéquation B( x )⩾0 . En déduire la quantité de tee-shirts à produire et à vendre pour que la production soit rentable.
6. Sur le graphique en annexe on a tracé la courbe représentative de la fonction coût C et celle de la fonction recette R .
a. Déterminer graphiquement les abscisses des points d'intersection des deux courbes. Quel est la valeur de B( x ) en les abscisses de ces points ?
b. Expliquer comment retrouver graphiquement le résultat de la question 5).