1)
Pour exprimer AM en fonction de AB et AC on part de la deuxième égalité et on fait apparaître le vecteur AM. Pour cela on utilise la relation de Chasles et on remplace BM par BA + AM. Ensuite on isole AM
BM = -1/3 AB + 1/3 AC
3BM = - AB + AC (on multiplie les deux membres par 3)
3(BA + AM)= - AB + AC (relation de Chasles)
3BA + 3AM = - AB + AC
3AM = -3BA - AB + AC
3AM = 3AB - AB + AC (vect AB = - vect BA)
3AM = 2AB + AC
AM = (1/3)(2AB + AC)
2)
Pour démontrer que ces points sont alignés il faut montrer que les vecteurs
AM et AN sont colinéaires.
Deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires s’il existe un nombre réel k tel que v = ku . (l'un est multiple de l'autre)
on sait que 2AB + AC = AN
d'où
AM = (1/3)AN
puisqu'il existe un réel 1/3 tel que AM = (1/3)AN
cela signifie que les vecteurs AM et AN sont colinéaires.
le droites AM et AN sont parallèles
comme elles ont en commun le point A elle sont confondues
Les points A, M et N sont alignés
