Explications étape par étape:
1) Il te faut bien connaître ton cours. On posera racine de 2 = V(2). Soit Z = 8V(2) * (1+i) = 8V(2) + 8V(2)*i sous forme algébrique. On sait que le module r vaut r^2 = Re(Z)^2 + Im(Z)^2 = 128 + 128 = 256. Donc r = V(256) = 16.
On sait par ailleurs que arg (Z*Z') = arg(Z) + arg(Z') donc arg(8V(2) * (1+i)) = arg (8V(2)) + arg(1+i) = 0 + pi/4 = pi/4 à 2pi près.
2) Identité remarquable (a+b)^2 tu peux le vérifier.
3) Sachant que z0 ^2 = Z on aura arg(z0 ^2) = arg(z0*z0) = 2arg(z0) = arg(Z) donc arg(z0) = arg(Z) /2 = pi/8. Par ailleurs, on a par implication ( |z| = module de z, c'est une notation) :
|z0^2| = |Z| donc |z0|^2 = |Z| donc |z0| = V(|Z|) = V(16) = 4 ou -4. Or un module est toujours positif donc finalement |z0| = 4.
Sous forme trigonométrique on déduit :
z0 = 4(cos(pi/8) + isin(pi/8). Il suffit de comparer z0 avec sa vraie valeur et identifier les parties réelles et imaginaires pour conclure.
Astuce : Si Z = Z' alors Re(Z) = Re(Z') et Im(Z) = Im(Z'). On a aussi |Z| = |Z'| et arg (Z) = arg(Z') (attention, l'inverse n'est pas toujours vrai)
