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résolu

Bonsoir pouvez-vous m'aider svp pour ce DM que je n'arrive pas à résoudre, merci.

Soit la fonction f numérique suivante :

f(x) = 3 / [ -19e⁻²ˣ + 22e⁻ˣ - 3 ]

1) Déterminer le domaine de définition de f.
2) Faire l'étude des branches infinies de f.
3) Faire l'étude des variations de la fonction f.
4) Dresser le tableau de variations de la fonction f.
5) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe représentative de f avec l'axe des abscisses et celui des ordonnées.

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Explications étape par étape

Bonjour,

1) la fonction f(x) est une fonction quotient elle n'est pas définie pour les valeurs de x qui annulent le diviseur

on pose e^-x=X

le diviseur s'écrit -19X²+22X-3

les solutions  qui annulent cette équation sont   X1=1   et X2=3/19

e^-x=1  si x=0 et e^-x=3/19 si x=ln(19/3)

le Df est donc R-{0; ln(19/3)}

Dresse le tableau de signes de ce diviseur il va te servir pour déterminer les limites

2) les limites

x tend vers -oo; f(x) tend vers 0-

x tend vers +oo; f(x) tend vers -1

x tend vers 0-, f(x) tend vers -oo

x tend vers 0+, f(x) tend vers +oo

x tend vers ln(19/3)-; f(x) tend vers +oo

x tend vers ln(19/3)+  f(x) tend vers -oo

3)Dérivée f'(x)=-3*[38e^(-2x) -22e^(-x)]/diviseur au carré

f'(x)=3*e^(-x)[38e^(-x)-22}

f'(x) =0 pour e^-x=22/38

soit pour x=ln(19/11)

4)Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x     -oo................0...................ln(19/11)......................ln(19/3)........................+oo

f'(x)...............-.....................-............0................+.................................+...............

f(x)0- ....D.......-ooII+oo.......D.....f(ln19/3)........C.........+ooII-oo.......C.............-1.  

D= décroît; C=croît, II= valeurs interdites

calcule f(ln(19/11))=.... à priori cette valeur est >0

5)Intersection avec les axes; il n'y a aucun calcul à faire

f(x) ne peut pas être égale à 0 donc pas d'intersection avec l'axe des abscisses qui est une asymptote horizontale en -oo

x=0 est une valeur interdite il ne peut donc pas y avoir d'intersection avec l'axe des ordonnées qui est une asymptote verticale.

Vérifie quand même mes calculs

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