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Quand on doit factoriser il faut regarder la forme de l'expression.
préambule :
on demande de développer (x + 4)²
on utilise le produit remarquable (a + b)² = a² + 2ab + b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(x + 4)² = x² + 2*x*4 + 4² (a = x et b = 4)
(x + 4)² = x² + 8x + 16
si on demande de factoriser il faut utiliser le produit remarquable de droite Ă gauche.
à partir de x² + 8x + 16 retrouver (x + 4)²
on observe que x² est le carré de x et 16 le carré de 4 (et on vérifie que 8x est bien 2*x*4
1) x² + 6x + 9 x² est le carré de x, 9 est le carré de 3
on pense à (x + 3)²
on contrĂ´le le terme du milieu 6x
6x est bien Ă©gal Ă 2*x*3
x² + 6x + 9 = (x + 3)²
2) x² - 10x + 25
x² carré de x, 25 carré de 5
mais ici le signe "-" doit faire penser au produit remarquable
(a - b)² = a² - 2ab + b²
x² - 10x + 25 = (x - 5)²
3) 4x² - 36 [4x² = (2x)² et 36 = 6²]
différence de deux carrés, on utilise le dernier produit remarquable
a² - b² = (a + b)(a - b) (a = 2x et b = 6)
(2x)² - 6² = (2x + 6)(2x - 6)
dans ce cas on peut continuer la factorisation car
2x + 6 = 2(x + 3) et 2x - 6 = 2(x - 3)
d'oĂą
4x² - 36 = (2x)² - 6² = 2(x + 3)2(x - 3) = 4(x + 3)(x - 3)
4)
comme le 1) avec 25x² = (5x)² et 49 = 7²
5) comme le 3)
(x - 2)² - 9 = (x - 2)² - 3²
a² - b² = ( a + b) ( a - b)
(x - 2) - 3² = (x - 2 + 3) (x - 2 - 3) = (x + 1)(x - 5)
6) et 7)
on ne peut pas utiliser un produit remarquable. (ça n'y ressemble pas)
on cherche un facteur commun
4x² - 2x il y a deux facteurs communs 2 et x
2*2*x*x - 2*x*1 =
2*2*x*x - 2*x*1 = (facteurs communs en caractères gras)
2x(2x - 1) on met ces facteurs commun devant des ( )
on écrit dans les ( ) ce qui reste quand on a enlevé 2 et x. On a mis le nombre 1 dans le 2e terme (sinon ce terme disparaissaît)
4x² - 2x = 2x (2x - 1)
(x - 1)(3x + 4) - (x - 1)(x - 2) = (facteur commun (x - 1))
(x - 1)(3x + 4) - (x - 1)(x - 2) =
(x - 1) [(3x + 4) - (x - 2)] =
(x - 1) (3x + 4 - x + 2) =
(x - 1) (2x + 6) = 2(x - 1)(x + 3)
