Réponse :
Bonjour,
Explications étape par étape
[tex]x,y > 0\\\\(x-y)^2 > 0\\\\x^2+y^2-2xy >0\\\\x^2+y^2 > 2xy\\\\\boxed{\dfrac{1}{xy} > \dfrac{2}{x^2+y^2}}\\[/tex]
Réponse : Bonjour,
[tex]\frac{2}{x^{2}+y^{2}} \leq \frac{1}{xy}\\\frac{2}{x^{2}+y^{2}}-\frac{1}{xy} \leq 0\\\frac{2xy-(x^{2}+y^{2})}{xy(x^{2}+y^{2})} \leq 0\\\frac{2xy-x^{2}-y^{2}}{xy(x^{2}+y^{2})} \leq 0\\\frac{-(x^{2}+y^{2}-2xy)}{xy(x^{2}+y^{2})} \leq 0\\\frac{-(x-y)^{2}}{xy(x^{2}+y^{2})} \leq 0[/tex]
Le numérateur est négatif, car [tex](x-y)^{2} \geq 0[/tex], pour [tex]x,y \in \mathbb{R}[/tex], puis comme x et y sont des nombres réels strictement positifs, [tex]xy > 0[/tex], [tex]x^{2}+y^{2} > 0[/tex], d'où [tex]xy(x^{2}+y^{2}) > 0[/tex].
Donc pour tous nombres x et y positifs, [tex]\frac{-(x-y)^{2}}{xy(x^{2}+y^{2})} \leq 0[/tex], est vérifiée.
Donc pour tous nombres x et y strictement positifs, [tex]\frac{2}{x^{2}+y^{2}} \leq \frac{1}{xy}[/tex].
