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résolu

Bonjour, je recherche de l'aide concernant ce devoir type lycée et je vous remercie d'avance.
Soit (O, I, J) un repère orthonormé et C le cercle trigonométrique de centre O
1)A) placer sur C les points M et S associés respectivement à pi/4 et à pi/8
B)donner les coordonnées du point M

2). A) on considere sur l'axe (O, I) les points P d'abscisse racinecarré2/2 et K d'abscisse -1
A) calculer KM
B) déterminer une mesure en degrés de MKO
C) Dans le triangle MKP rectangle, calculer cos(MKP) et sin(MKP)

3)A) comparer MKP et IOS
B) en déduire les valeurs exactes de cos pi/8 et sin pi/8

J'ai déjà répondu aux deux premières questions mais je me retrouve bloqué sur le reste..

Répondre :

Réponse : Bonsoir,

2)A) [tex]KM=\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2}+1)^{2}+(\frac{\sqrt{2}}{2}-0)^{2}} =\sqrt{\frac{2}{4}+\sqrt{2}+1+\frac{2}{4}}=\sqrt{2+\sqrt{2}}[/tex].

B) Le triangle MKO est isocèle en O, car [OM] et [MK], sont deux rayons du cercle, donc OM=MK=1.

Comme le triangle MKO est isocèle en O, alors [tex]\widehat{MKO}=\widehat{OMK}[/tex].

Il nous faut donc calculer l'angle [tex]\widehat{KOM}[/tex].

Or l'angle [tex]\widehat{IOK}=180\°[/tex], puisque c'est un angle plat et:

[tex]\widehat{IOK}=\widehat{IOM}+\widehat{MOK}=180\°\\\widehat{IOK}=\frac{\pi}{4}+\widehat{MOK}=180 \°\\\widehat{MOK}=180\°- 45 \°=135 \°[/tex].

Dans le triangle MOK, on a que:

[tex]\widehat{MKO}+\widehat{MOK}+\widehat{OMK}=180 \°\\2\widehat{MKO}+\widehat{MOK}=180 \° \quad car \; \widehat{MKO}=\widehat{OMK}\\2 \widehat{MKO}+135 \°=180 \°\\2\widehat{MKO}=45 \°\\\widehat{MKO}=22,5 \°[/tex].

C) Dans le triangle MKP rectangle en P, on a:

[tex]\displaystyle\cos(\widehat{MKP})=\frac{KP}{KM}=\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}=\frac{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}=\frac{2+\sqrt{2}}{2\sqrt{2+\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\\ \displaystyle sin(\widehat{MKP})=\frac{PM}{KM}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2+\sqrt{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}\sqrt{2-\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2}\sqrt{4-2}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}[/tex].

3)A)On a:

[tex]\widehat{MKP}=\widehat{MKO}=22,5 \°=\frac{\pi}{8} \; rad\\\widehat{IOS}=\frac{\pi}{8} \; rad\\ Donc \; \widehat{MKP}=\widehat{IOS}=\frac{\pi}{8} \; rad[/tex].

B) On a donc que:

[tex]\cos(\widehat{MKP})=\cos(\frac{\pi}{8})=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\\\sin(\widehat{MKP})=\sin(\frac{\pi}{8})=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}[/tex]

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