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Réponse : Bonjour,
Pour comparer les fonctions carré et cube sur [tex]\mathbb{R}+[/tex], on introduit la fonction [tex]f(x)=x^{3}-x^{2}[/tex].
On a:
[tex]f(x)=x^{3}-x^{2}=x^{2}(x-1)[/tex].
On effectue le tableau de signes de f:
x 0 1 +∞
x² Ф + +
x-1 - Ф +
f(x) Ф - Ф +
Donc sur l'intervalle [0;1], [tex]f(x) \leq 0[/tex], donc sur cet intervalle:
[tex]x^{3}-x^{2} \leq 0\\x^{3} \leq x^{2}[/tex].
Donc sur l'intervalle [0;1], la courbe représentative de la fonction cube est en dessous de celle de la fonction carrée.
Sur l'intervalle [1;+∞[, [tex]f(x) \geq 0[/tex], donc:
[tex]x^{3}-x^{2} \geq 0\\x^{3} \geq x^{2}[/tex].
Donc sur l'intervalle [1;+∞[, la courbe représentative de la fonction cube est au dessus de celle de la fonction carrée.
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