Réponse:
Montrons que f(x) - (-1) ≥ 0
[tex]f(x) - ( - 1) = \frac{ {x}^{2} + 4x + 3 }{2 {x}^{2} + 8x + 9 } + 1 = \frac{ {x}^{2} + 4x + 3 + 2 {x}^{2} + 8x + 9}{2 {x}^{2} + 8x + 9 } = \frac{ {3x}^{2} + 12x + 12}{2 {x}^{2} + 8x + 9 }[/tex]
Etudions le signe de 3x²+12x+12
∆=12²-4×3×12
∆=0
le trinome est du signe de a=3 donc positif sur IR
Etudions le signe de 2x²+8x+9
∆=-8
le trinome est strictement positif (a=2) pour tout x.
Ainsi f(x)-(-1) ≥ 0 pour tout x
<=> f(x) ≥ -1
Le minimum de f sur Df est -1
