Réponse :
1) calculer U1 , V1 , U2 et V2
U0 = 1 et Un+1 = (3Un + 2Vn)/5
V0 = 2 et Vn+1 = (2Un + 3Vn)/5
U1 = (3U0 + 2V0)/5 = (3+4)/5 = 7/5
V1 = (2U0 + 3V0)/5 = (2 + 6)/5 = 8/5
U2 = (3U1 + 2 V1)/5 = (21/5 + 16/5)/5 = 37/5/5 = 37/25
V2 = (2U1 + 3V1)/5 = (14/5 + 24/5)/5 = 38/25
2) dn = Vn - Un définie pour tout entier naturel n
a) montrer que (dn) est une suite géométrique
dn+1 = Vn+1 - Un+1 = (2Un +3Vn)/5 - (3Un + 2Vn)/5 = (- Un + Vn)/5
dn+1/dn = (- Un + Vn)/5/(Vn - dn) = 1/5
(dn) est une suite géométrique de premier terme d0 = 1 et de raison q = 1/5
b) en déduire l'expression de dn en fonction de n
dn = d0 x qⁿ = (1/5)ⁿ = 1/5ⁿ
3) Sn = Un+Vn
a) calculer S0, S1 et S2. Que peut-on conjecturer ?
S0 = U0+V0 = 1 + 2 = 3
S1 = U1 + V1 = 7/5 + 8/5 = 15/5 = 3
S2 = U2 + V2 = 37/25 + 38/25 = 3
b) montrer que, pour tout n ∈ N, Sn+1 = Sn. Qu'en déduit-on ?
Sn+1 = Un+1 + Vn+1 = (3Un + 2Vn)/5 + (2Un + 3Vn)/5 = (5Un + 5Vn)/5
= 5(Un + Vn)/5 = Un + Vn = Sn
Sn+ 1 = Sn = Un + Vn = Un+1 + Vn+1
Un = (3Un + 2Vn)/5 ⇔ 5Un = 3Un + 2Vn ⇔ 2Un = 2Vn ⇔ Un = Vn
Vn = (2Un + 3Vn)/5 ⇔ 5Vn = 2Un + 3Vn ⇔ 2 Vn = 2 Un ⇔ Vn = Un
on en déduit que Un = Vn
4) en déduire une expression de Un et Vn en fonction de n
Sn = Un + Vn
donc Sn+1 = Sn
Explications étape par étape
