Bonjour ;
1.
On a : lim(x ---> 1+) (x - 1)/(3x + 4) = 0 ; donc lim(x ---> 1+) ln((x - 1)/(3x + 4)) = - ∞ ;
et : lim(x ---> 1+)1/2 x = 1/2 ;
donc : lim(x ---> 1+) f(x) = - ∞ .
2.
On a : ((x - 1)/(3x + 4)) ' = ((x - 1) ' (3x + 4) - (3x + 4) ' (x - 1) )/(3x + 4)²
= (1 * (3x + 4) - 3 * (x - 1))/(3x + 4)²
= (3x + 4 - 3x + 1)/(3x + 4)²
= 7/(3x + 4)² ;
donc :(ln((x - 1)/(3x + 4))) ' = ((x - 1)/(3x + 4)) ' * 1/((x - 1)/(3x + 4))
= 7/(3x + 4)² * (3x + 4)/(x - 1)
= 7/(3x + 4) * 1/(x - 1)
= 7/((x - 1)(3x + 4)) .
On a aussi : (1/2 x) ' = 1/2 (x) ' = 1/2 * 1 = 1/2 ;
donc : f ' (x) = (1/2 x + ln((x - 1)/(3x + 4))) '
= (1/2 x) ' + (ln((x - 1)/(3x + 4)))
= 1/2 + 7/((x - 1)(3x + 4))
= ((x - 1)(3x + 4) + 14)/(2(x - 1)(3x + 4))
= (3x² + 4x - 3x - 4 + 14)/(2(x - 1)(3x + 4))
= (3x² + x + 10)/(2(x - 1)(3x + 4)) .
Comme le discriminant de 3x² + x + 10 est Δ = 1² - 4 * 3 * 10 = 1 - 120 = - 119 < 0 ;
et son coefficient de second degré est 3 > 0 , donc 3x² + x + 10 est strictement
positif sur ]1 ; + ∞ [ .
On a : x - 1 et 3x + 4 strictement positifs sur ]1 ; + ∞ [ ; donc f ' est strictement
positive sur sur ]1 ; + ∞ [ ; donc f est strictement croissante sur ]1 ; + ∞ [ .
