Bonjour ;
Exercice n° 3 .
On a : a = 9 * 10^n = 3² * 2^n * 5^n ;
donc le nombre de ses diviseurs est : (2 + 1) (n + 1) ( n + 1) = 3(n + 1)² .
On veut avoir exactement 27 diviseurs ;
donc on doit avoir : 3(n + 1)² = 27 ;
donc : (n + 1)² = 9 ;
donc : n + 1 = 3 ;
donc : n = 2 .
Conclusion : a = 9 * 10² = 900 a exactement 27 diviseurs qui sont :
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; 20 ; 25 ; 30 ; 36 ; 45 ; 50 ; 60 ;
75 ; 100 ; 150 ; 180 ; 225 ; 300 ; 450 et 900 .
Problème .
1.
(1 + a + a² + ..... + a^n)(a - 1)
= a + a² + a³ + ..... + a^(n + 1) - 1 - a - a² - a³ - a^n
= a^(n + 1) - 1 .
Si a = 10 alors on a : 10^n - 1 = (10 - 1)(1 + 10 + 10² + .... + a^(n - 1))
= 9 (1 + 10 + 10² + .... + a^(n - 1)) ;
10^n - 1 est divisible par 9 .
2.
On a : 20 = 4 * 5 = 2² * 5^1 ;
donc le nombre de ses diviseurs est : (2 + 1)(1 + 1) = 6 .
Les diviseurs de 20 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 et 20 .
Le nombre des diviseurs de 2^(13) est : 13 + 1 = 14 .
3.
1 + 20 + 20² + .... + 20^(12) est la somme des 13 premiers termes
de la suite géométrique de raison 20 et de premier terme 1 ;
donc : 1 + 20 + 20² + .... + 20^(12) = (20^(13) - 1)/(20 - 1) = (20^(13) - 1)/19 ;
donc : 20^(13) - 1 = 19(1 + 20 + 20² + .... + 20^(12)) ;
donc 20^(13) - 1 n'est pas un nombre premier .
M_n = 2^(13) - 1 = 8191 qui est un nombre premier .
4.
Pour tout a et n supérieurs ou égaux à 2 ; on a :
1 + a + a² + ... + a^(n - 1) est la somme des n premiers
termes de la suite géométrique de raison a et de
premier terme 1 ; donc : 1 + a + a² + ... + a^(n - 1)
= (a^n) - 1)/(a - 1) ;
donc : a^n - 1 = (a - 1)(1 + a + a² + .... + a^(n - 1)) ;
donc : a^n - 1 est divisible par a - 1 .
5.
M_2 = 3 ; C'est un nombre premier .
M_3 = 7 ; C'est un nombre premier .
M_4 = 15 ; Ce n'est pas un nombre premier .
M_5 = 31 ; C'est un nombre premier .
M _ 6 = 63 ; Ce n'est pas un nombre premier .
M_7 = 127 ; C'est un nombre premier .
M_8 = 255 ; Ce n'est pas un nombre premier .
M_9 = 511 ; Ce n'est pas un nombre premier .
M_10 = 1023 ; Ce n'est pas un nombre premier .
M_11 = 2047 ; Ce n'est pas un nombre premier .
M_12 = 4095 ; Ce n'est pas un nombre premier .
M_13 = 8191 ; C'est un nombre premier .
M_14 = 16383 ; Ce n'est pas un nombre premier .
M_15 = 32767 ; Ce n'est pas un nombre premier .
M_ 16 = 65535 ; Ce n'est pas un nombre premier .
