Bonjour ;
Je noterai "int" le signe de l'integrale .
int f(x) dx = int (x(2 - ln(x)) + 1) dx
= int (2x - xln(x) + 1) dx = int 2x dx - int xln(x) + int 1 dx .
On a : int 2x dx = x² + C1 avec C1 une constante réelle
et int 1 dx = x + C2 avec C2 une constante réelle : il reste
donc à calculer int xln(x) dx .
Procédons par intégration par parties .
int xln(x) dx = int (x²/2) ' ln(x) dx
= x²/2 ln(x) - int x²/2 (ln(x)) ' dx
= x²/2 ln(x) - int x²/2 * 1/x dx
= x²/2 ln(x) - int x/2 dx
= x²/2 ln(x) - x²/4 + C3 avec C3 une constante réelle.
Conclusion :
int x(2 - ln(x)) + 1 dx = x² + C1 + x + C2 - x²/2 ln(x) + x²/4 + C3
= x + x² + x²/4 - x²/2 ln(x) + C4 avec C4 = C1 + C2 + C3
= x + 5/4 x² - x²/2 ln(x) + C4
= x - 1/4 x²(2ln(x) - 5) + C4 .
