Réponse:
ML = MB+BL
ML = -¼BC + ¾BA
MN = MC+CN
MN = ¾BC + ¼CD
MN = ¾BC + ¼BA
ML⃗.MN⃗ = (-¼BC⃗ + ¾BA⃗)(¾BC⃗ + ¼BA⃗)
ML⃗.MN⃗ = -3/16 BC⃗² - 1/16 BC⃗.BA⃗ + 9/16 BA⃗.BC⃗ + 3/16 BA⃗²
(BA) perpendiculaire à (BC)
ML⃗.MN⃗ = -3/16 BC⃗² + 0 + 0 + 3/16 BA⃗²
ML⃗.MN⃗ = -3/16 BC² + 3/16 BA²
et BA = BC
ML⃗.MN⃗ = 0
(ML) est donc perpendiculaire à (MN)
Dans le repere (B; BA; BC)
on a d'après les 2 premières questions
||MN|| = ||ML|| = √[(¾)²+(¼)²] = (√10)/4
On démontre de la même manière que MN = ML = PN = PL
Le quadrilatère LMNP a 2 côtés perpendiculaires et 4 côtés de même longueur donc LMNP est un carré.
