Réponse :
En fait il faut partir de ta dérivation sous le signe somme.
Déjà tu peux remarquer que
[tex]\sum \limits_{k = 1}^{+\infty} \frac{x^k}{(k+1)!} = \sum \limits_{k = 1}^{+\infty} \frac{x^k}{(k+1)!} = \frac{1}{x} \sum \limits_{p = 2}^{+\infty}\frac{x^p}{p!} = \frac{e^x - 1-x}{x}\\\\\sum \limits_{k = 1}^{+\infty} \frac{d}{dx} \frac {x^k}{(k+1)!} = \sum \limits_{k=1}^{+\infty}\frac{kx^{k-1}}{(k+1)!}[/tex]
Ensuite, si tu dérives la première ligne, tu trouves (normalement) la valeur de ta somme :
[tex]\frac{d}{dx} \frac{e^x-1-x}{x} = \frac{xe^x - 1 - (e^x-1-x)}{x^2} = \frac{x e^x - e^x +1}{x^2}[/tex]
Ce qui montre ton résultat.
(ii) Du coup il te suffit de prendre x = 1 pour avoir la valeur de ta somme demandée.
(d) Essaye d'aller "à l'envers" : une décomposition en éléments simples, ça ne va pas de soi. Mais en partant de l'expression de droite tu peux remonter "facilement" à celle de gauche, ça on sait faire.
[tex]\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} = \frac{k+1-k}{k(k+1)} = \frac{1}{k(k+1)}[/tex]
Ensuite tu as ce qu'on appelle une "somme téléscopique". C'est à dire que tu sommes quelque chose qui est de la forme un+1 - un : quand tu sommes tout il ne reste que les termes extrêmes.
Pour ça commence par raisonner sur les sommes partielles :
[tex]\sum \limits_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)} = \sum \limits_{k=1}^n\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}= \sum \limits_{k=1}^n\frac{1}{k} - \sum\limits_{p =2}^{n+1} \frac{1}{p} = \frac{1}{1} - \frac{1}{n+1}[/tex]
Ensuite tu fais tendre n vers l'infini, tu trouves quoi ?
Explications étape par étape
