Réponse :
EX4
f(x) = (a x + b) + c/(x - 1) définie sur ]1 ; 5]
1) déterminer graphiquement
f(3) = 0.5 ; f(2) = 1 ; f '(2) = - 3/2
2) calculer f '(x) en fonction de a et c
f '(x) = a - (c/(x - 1)^2)
la dérivée de c/(x-1) est - c/(x-1)^2
3) en utilisant les questions 1 et 2 déterminer a, b et c
f(3) = 3 a + b + c/2 = 0.5
f(2) = 2 a + b + c = 1
f '(2) = a - c = - 3/2 d'où a = c - (3/2)
on obtient un système d'équation suivant
3 c + b + c/2 = 5 donc 7/2) c + b = 5
2 c + b + c = 4 x (- 1) 3 c + b = 4
........................
1/2) c = 1 d'où c = 2 et a = 2 - 3/2 = 1/2 ; b = 4 - 6 = - 2
Donc l'expression de f(x) = ((1/2) x - 2) + 2/(x - 1)
4) vérifie que f(x) = (x^2 - 5 x + 8)/2(x - 1)
f(x) = ((1/2) x - 2) + 2/(x - 1) = 1/2) x (x - 1)/(x - 1) - 4(x - 1)/2(x-1) + 4/2(x- 1)
= 1/2(x- 1)][x(x- 1) - 4(x - 1) + 4]
= (x^2 - x - 4 x + 4 + 4)/2(x-1)
= (x^2 - 5 x + 8)/2(x-1)
5) donner une équation de la tangente à C au point d'abscisse 3
l'équation de la tangente est : y = f(3) + f '(3)(x - 3)
f(3) = 0.5 = 1/2
f '(x) = 1/2) - 2/(x - 1)^2 donc f '(3) = 1/2) - 2/(3 - 1)^2 = 1/2 - 2/4 = 0
donc y = f(3) = 1/2 c'est une tangente horizontale // à l'axe des abscisses
Explications étape par étape
²²⇔⇔²²²
