Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
a)
J'ai tracé la courbe avec le logiciel gratuit Sine Qua Non : voir pièce jointe.
On peut conjecturer que :
f(x) est croissante sur ]-inf;0] puis décroissante sur [0;+inf[.
Le point d'inflexion se situe pour x ≈ 0.5
b)
Tu écris que le facteur 12exp(-4x) > 0 donc f '(x) est du signe de : 1-exp(x).
1-exp(x) > 0
exp(x) < 1
x < 0
Ton tableau de variation est bon . Mais je ne vois pas pourquoi tu marques les limites en -inf et +inf alors qu'on ne les demande pas et que tu ne les pas prouvées.
c)
f '(x)=12exp(-4x)(1-exp(x))
f ' (x) est de la forme u*v avec :
u=12exp(-4x) donc u '=-36exp(-4x)
v=1-exp(x) donc : v '=-exp(x)
f " (x)=-36exp(-4x)(1-exp(x)) -12*exp(x)*exp(-4x)
f " (x)=12exp(-4x)[-3(1-exp(x))-exp(x)]
f " (x)=12exp(-4x)(-3+3exp(x)-exp(x)]
f " (x)=12exp(x)(2exp(x)-3)
f "(x) est donc du signe de : 2exp(x)-3.
2exp(x)-3 > 0
exp(x) > 3/2
x > ln(3/2)
f " (x) est donc < 0 pour x < ln(3/2) et > 0 ensuite.
Cf est donc concave sur ]-inf;ln(3/2)] et convexe sur [ln(3/2; +inf[.
La courbe Cf a un point d'inflexion pour x=ln(3/2) ≈ 0.41
