Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
1)
a) la limite en -∞ est -1
la limite en +∞ est +∞
b) g'(x) = e^x +(x-1)e^x = e^x(x-1+1) = x e^x
Donc g'(x) ≤ 0 sur ]-∞ ; 0] et g'(x) ≥ 0 sur [0 ; +∞[
Donc g(x) est décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[
compléter le tableau avec les limites et f(0) = -2
2) g est continue décroissante sur ]-∞ , 0] , à valeur sur ]-1 ; -2] ; l'équation g(x) = 0 n'a donc pas de solution sur cet intervalle
g est continue et strictement croissante sur [0 ; +∞[ , à valeur sur [-2 ; +∞[ ; d'après un corollaire au théorème des valeurs intermédiaires, l'équation g(x) = 0 admet une solution unique cet intervalle.
On obtient sur la calculatrice 1,27<∝<1,28
b) On a donc : g(x) ≤ 0 sur ]-∞ ; ∝] et g(x)≥0 sur [∝ ; +∞[
partie B
1) lim en -∞ = -∞
lim en +∞ = 0 (croissances comparées)
la droite d'équation y = 0 est donc asymptote horizontale à la courbe Cf en +∞
2) a) f'(x) = (e^x+1 -xe^x)/(e^x + 1)² = ((1-x)e^x + 1)/(e^x +1)² = -g(x)/(e^x +1 )²
on a (e^x + 1)² >0 (un carré est toujours positif dans R)
le signe de f'(x) dépend donc de -g'(x)
On a vu dans la partie A que g(x)≤ sur ]-∞ ; ∝] et g(x) ≥ 0 sur [∝ ; +∞[
donc -g(x) ≥ 0 sur ]-∞ ; ∝] et -g(x) ≤ 0 sur [∝ ; +∞[
donc f'(x) ≥ 0 sur ]-∞ ; ∝] et f'(x) ≤ 0 sur [∝ ; +∞[
donc f(x) est croissante sur ]-∞ ; ∝] et croissante sur [∝ ; +∞[
3) f'(0) = 1/2 et f(0) = 0
L'équation de la tangente au point d'abscisse 0 est donc
y =1/2(x-0) + 0 ⇔ y = 0,5x
