Bonjour ;
1.
Soit O l'origine du repère .
On a :
1/4 AC = 1/4 (OC - OA) = 1/4 OC - 1/4 OA ;
et : AD = OD - OA = 1/4 AC ;
donc : OD = 1/4 AC + OA = 1/4 OC - 1/4 OA + OA
= 1/4 OC + 3/4 OA .
Les coordonnées du vecteur OD sont donc :
xD = 1/4 * 21 + 3/4 * 3 = 21/4 + 33/4 = 54/4 = 27/2 ;
et yD = 1/4 * (- 4) + 3/4 * 3 = - 1 + 9/4 = 5/4 .
On a : BC = OC - OB ; donc ses coordonnées sont :
xBC = 21 - 6 = 15 et yBC = - 4 + 4 = 0 .
Soit K le milieu de [BC] ; donc : BK = 1/2 BC ;
donc les coordonnées de BK sont : xBK = 15/2 et yBK = 0 .
On a : BK = OK - OB ; donc : OK = BK + OB ;
donc les coordonnées de OK sont :
xK = 15/2 + 6 = 27/2 et yK = 0 - 4 = - 4 .
On a donc : KD = OD - OK ;
donc les coordonnées KD sont :
xKD = 27/2 - 27/2 = 0 et yKD = 5/4 + 4 = 21/4 .
Calculons maintenant le produit scalaire des vecteurs KD et BC :
KD(0 ; 21/4) . BC(15 ; 0) = 0 * 15 + 21/4 * 0 = 0 ;
donc : les vecteurs KD et BC sont orthogonaux ;
donc : les droites (KD) et (BC) sont perpendiculaires .
Comme la droite (KD) passe par le point K qui est le milieu
du segment [BC] , alors (KD) est médiatrice d du segment [BC] ;
donc le point D appartient à la médiatrice d du segment [BC] .
2.
Calculons les coordonnées du vecteur (AH) :
xAH = (11 - 11)/2 = 0 et yAH = (- 4 - 3)/2 = - 7/2 .
Le vecteur KD est un vecteur directeur de la droite d .
Calculons le déterminant des vecteurs KD et AH :
0 * (- 7/2) - 21/4 * 0 = 0 ; donc les droites (AH) et d sont parallèles .
3.
Les droites (AH) et d sont parallèles , et la droite d est perpendiculaire
à la droite (BC) , donc la droite (AH) est perpendiculaire à la droite (BC) ,
donc la demie-droite [AH) est la hauteur du triangle ABC issue de A .
Le point H à la même ordonnée que les points B et C donc il appartient
à la droite (BC) , et comme son abscisse est entre l'abscisse de
B et l'abscisse de C , donc il appartient au segment [BC] .
Calculons AH et BC .
AH² = (11 - 11)² + (- 4 - 3)² = 0² + 7² = 7² ; donc : AH = 7 ;
et BC² = (21 - 6)² + (-4 - (- 4))² = 15² + 0² = 15² ; donc : BC = 15 .
L'aire du triangle ABC est : 1/2 x AH x BC = 1/2 x 7 x 15 = 52,5 .
