la surface de la casserole c'est la somme de la surface d'un rectangle (le tour) et d'un disque (le fond) le disque a pour rayon r :
surface = pir² le rectangle a pour côtés : h (hauteur) et 2pir (circonférence) or le volume V=surface x hauteur donc
h = V /surface = V / pir²
1)surface du métal = pir² + V/pir² * 2pir
= pir² + 2V/r 2)S(r)= pir² + 2V/r
sens de définition : " r positif"
S '(r) la dérivée est 2pir - 2V/r² = 2( pi r^3 - V)/ r² elle s'annule pour V=pir^3 donc pour r^3 = V/pi et r= ∛ V/pi et si V=pir^3 alors
pir^3 = h * pir² donc r=h
3)la dérivée s'annule pour r=h et dans ce cas la surface vaut
S(r)= pir² + 2V/r = pir² + 2pir^3 /r= pir² + 2pir² = 3pir²
ou encore comme V=pir²*h r² = V/pih et S(r)= 3pi*V/pih = 3V/h
montrons que c'est le minimum si r <h alors pi r < pi *h
pi r*r² < pi *h*r²
pi*r^3 < V donc S' (r)<0 et de même si r>h pir^3 >V
donc la dérivée est négative puis positive; elle a un minimum pour pir^3=V
c'est à dire r=h
