Répondre :
f(x) = ax+b-16/x
1) A (2;4) ∈Cf donc f(2)=4
donc 2a+b-8=4
donc 2a+b=12
la tangente au point A est horizontale
donc f'(2)=0
f'(x)=a+16/x²
donc a+4=0
donc a=-4 et alors b=20
2) f(x)=-4x+20-16/x
f'(x)=-4+16/x²=(16-4x²)/x²=4(2-x)(2+x)/x²
f'(x)=0 donne x=2 sur [1;6]
f'(x)>0 donne 1<x<2 sur [1;6]
donc f est croissante sur [1;2] et décroissante sur [2;6]
3) sur [1;2] : f est monotone et continue
f(1)<0 et f(2)>0
d'après le th des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0 possède une solution unique α∈[1;2]
sur [2;6] : f est monotone et continue
f(2)>0 et f(6)<0
d'après le th des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0 possède une solution unique β∈[2;6]
donc l'équation possède 2 solutions α et β sur [1;6]
4) f'(x)=-4+16/x²
donc f''(x)=-32/x³
f''(x)<0 sur [1;6]
donc f est concave sur [1;6]
f'' ne s'annule pas sur [1;6]
donc Cf ne possède aucun point d'inflexion
1) A (2;4) ∈Cf donc f(2)=4
donc 2a+b-8=4
donc 2a+b=12
la tangente au point A est horizontale
donc f'(2)=0
f'(x)=a+16/x²
donc a+4=0
donc a=-4 et alors b=20
2) f(x)=-4x+20-16/x
f'(x)=-4+16/x²=(16-4x²)/x²=4(2-x)(2+x)/x²
f'(x)=0 donne x=2 sur [1;6]
f'(x)>0 donne 1<x<2 sur [1;6]
donc f est croissante sur [1;2] et décroissante sur [2;6]
3) sur [1;2] : f est monotone et continue
f(1)<0 et f(2)>0
d'après le th des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0 possède une solution unique α∈[1;2]
sur [2;6] : f est monotone et continue
f(2)>0 et f(6)<0
d'après le th des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0 possède une solution unique β∈[2;6]
donc l'équation possède 2 solutions α et β sur [1;6]
4) f'(x)=-4+16/x²
donc f''(x)=-32/x³
f''(x)<0 sur [1;6]
donc f est concave sur [1;6]
f'' ne s'annule pas sur [1;6]
donc Cf ne possède aucun point d'inflexion
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