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résolu

Soit a et b deux entiers naturels non nuls. Démontrer que : PGCD(13a+8b;5a+3b)=PGCD(a;b)

Répondre :

LAURANCEVIZ
 soit   d=pgcd (a,b)   
il existe u et v entiers relatifs tels que : au+bv =d 
montrons qu'il existe alors deux entiers   s et t  tels que
(13a+8b)s  +  (5a+3b)t = d =  au + bv 
a(13s + 5t)  +  b(8s + 3t) = a u + bv 
13s + 5t = u   donc    t = u/5  - 13s /5 
8s + 3t =v donc    8s  + 3u/5  -  39s/5  = v
s/5  + 3u/5  =  v 
s/5 = v - 3u/5     
s = 5v  -  3u   s est entier car u et v sont entiers
t= u/5  - 65v/5   +39u/5  = 8u  -  13v     t est entier aussi
conclusion
comme 
(5v-3u)(13a+8b)  + (8u-13v)(5a+3b)=
65av+40vb-39au-24bu+40ua+24ub-65va-39vb =
vb  + ua =
au+bv =d   on en déduit que  pgcd(13a+8b;5a+3b)= d

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