Bonjour Raphdu18
[tex]D(t)=\dfrac{15}{1+20e^{-0,5t}}[/tex]
1) Limite de D en +oo
[tex]\lim\limits_{t\to+\infty}e^{-0,5t}=0\Longrightarrow\lim\limits_{t\to+\infty}(1+20e^{-0,5t})=1[/tex]
D'où, [tex]\lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{15}{1+20e^{-0,5t}}=\dfrac{15}{1}=15[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{\lim\limits_{t\to+\infty}D(t)=15}[/tex]
2) Variations de D et tableau :
[tex]D'(t)=\dfrac{-15(1+20e^{-0,5t})'}{(1+20e^{-0,5t})^2}[/tex]
[tex]D'(t)=\dfrac{-15\times[20\times(-0,5)e^{-0,5t}]}{(1+20e^{-0,5t})^2}[/tex]
[tex]D'(t)=\dfrac{-15\times(-10)e^{-0,5t}}{(1+20e^{-0,5t})^2}[/tex]
[tex]\boxed{D'(t)=\dfrac{150e^{-0,5t}}{(1+20e^{-0,5t})^2}}[/tex]
[tex]150e^{-0,5t}\ \textgreater \ 0\ \ et\ \ 1+20e^{-0,5t})^2\ \textgreater \ 0\ \ \Longrightarrow\boxed{D'(t)\ \textgreater \ 0}[/tex]
Par conséquent, la fonction D est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; +oo[
[tex]D(0)=\dfrac{15}{1+20e^{0}}[/tex]
[tex]D(0)=\dfrac{15}{1+20\times1}=\dfrac{15}{21}\\\\\boxed{D(0)=\dfrac{5}{7}}[/tex]
Tableau de variations de D
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} t&0&&&&&&+\infty \\ D(t)&\dfrac{5}{7}&&&\nearrow&&&15\\ \end{array}[/tex]
3) Tangente T au point d'abscisse 0.
L'équation de la tangente est de la forme : y = D'(0)(t - 0) + D(0)
Or
[tex]D(0)=\dfrac{5}{7}[/tex]
[tex]\boxed{D'(0)}=\dfrac{150e^{0}}{(1+20e^{0})^2}=\dfrac{150\times1}{(1+20\times1)^2}=\dfrac{150}{21^2}=\dfrac{150}{441}=\boxed{\dfrac{50}{147}}[/tex]
D'où l'équation de la tangente t est :
[tex]y=\dfrac{50}{147}(t-0)+\dfrac{5}{7}[/tex]
[tex]\boxed{T:y=\dfrac{50}{147}t+\dfrac{5}{7}}[/tex]
