partie A
il y a 3 inconnues à trouver et 3 équations à écrire en suivant les indications de l'énoncé
la courbe d'équation Y=ax+b+c/(x-1) passe par A(3;2) : 2 = a3+b+c/(3-1)
ou 3a +b + 0,5c = 2
admet en ce point une tangente horizontale: y' (3) =0 ou a -c/(3-1)² = 0 ou a - 0,25c = 0
possède au point d'abscisse 2 une tangente parallèle à la droite d'équation Y=3x+2 : y'(2)= 3 ou a -c/(2-1)² = 3 ou a -c = 3
en partant de la dernière équation :
a=c+3 puis la deuxième : c+3-0,25c = 0 0,75c = -3 c= -3/0,75 = - 4
donc a= -1 et la première -3 +b -2 = 2 b= 7
vérification
f(x)= -x + 7 - 4 /(x-1) f(3)= 4 - 4/2 = 2
f '(x) = -1 + 4/(x-1)² f'(3)= - 1 + 4/4 = 0 f'(2)= -1 + 4 = 3
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partieB
f(x) = (x² - x -1 ) / (x -2 ) a) f(x) = (x² -2x + x -2 + 1) /(x-2)
f(x)= (x²-2x) /(x-2) + (x-2)/(x-2) + 1 /(x-2) = x + 1 + 1/(x-2)
on en déduit donc que a =1 b=1 c = 1
b) ensemble de définition : tous les réels x sauf x=2 : IR - { 2 }
c)au point A f '(x)= 1 - 1 /(x-2)² f '(1)= 1 - 1= 0
y = 0(x -1 ) +1 = 1
au point B(mais c'est 3;5) f '(3)= 1 - 1 = 0
y = 0(x -3 ) + 5 = 5
d)puisque limite de f(x) en 2 égale : infini la droite d: x=2 est asymptote verticale
puisque limite de ( f(x) - (x+1) ) en infini égale 0 ; la droite d':y=x+1 asymptote oblique
e) f '(x) = 1 - 1/(x-2)² = ((x-2)² - 1 ) / (x-2)² = (x-2-1)(x-2+1)/(x-2)²
f ' (x) = (x-3)(x-1) / (x-2)²
(x-2)²>0 pour tout x
si x<1 alors (x-3)<0 et (x-1)<0 donc f '(x) >0 f est croissante
si 1<x<3 alors (x-3)<0 et (x-1)> 0 donc f '(x)<0 f est décroissante
si x>3 alors (x-3)>0 et (x-1)>0 donc f '(x) >0 f est croissante
f)les extremum de f sont : f(1)= 1 et f(3)= 5
g)le signe de la différence f(x) - (x+1) donne la position
f(x)-(x+1)= 1/(x-2) di signe de x-2 donc :
si x<2 C au dessous de d'
si x>2 C au dessus de d'
