1) Tu dois savoir que le coefficient directeur de la tangente à une courbe en un point A est égale à la dérivée de ta fonction au point A.
Notons f la fonction associée à ta parabole. [tex]f(x)=k \times x^2[/tex] donc [tex]f'(x)=2kx[/tex] et du coup [tex]f'(a)=2\times k\times a[/tex]
Le coefficient directeur de la tangente est donc 2ka.
Ensuite, la tangente passe par le point A, qui a pour coordonnées (a ; f(a) ).
Tu sais qu'une tangente est une droite, donc son équation est de la forme y=mx+p (tu as peut-être vu ax+b, mais le a est déjà utilisé ici, mieux vaut changer de lettre).
On a calculé le coefficient directeur au dessus: m=2ka.
Tu remplace le x et le y par les coordonnées de a, et ça te permet de trouver le p (ordonnée à l'origine):
[tex]f(a)=ma+p[/tex]
[tex]ka^2=2ka \times a+p=2ka^2+p[/tex]
[tex]p=-ka^2[/tex]
donc l'équation de la tangente T est [tex]y=2kax-ka^2[/tex].
2) B est l'intersection de T avec l'axe des abscisses, donc B est sur l'axe des abscisses, donc son ordonnée est 0.
À l'inverse, C est l'intersection avec l'axe des ordonnées, donc C est sur l'axe des ordonnées, donc son abscisse est 0.
De plus, B et C dont sur la tangente donc leurs coordonnées répondent à l'équation de la tangente [tex]y=2kax-ka^2[/tex].
Ce qui donne pour B:[tex]0=2kax-ka^2[/tex] (à simplifier pour avoir une expression claire de x)
pour C: [tex]y=2ka\times 0-ka^2[/tex]. (à simplifier - facile - pour avoir une expression claire de y)
3. Si tu n'as pas fait d'erreur au 2, tu as du trouver que les coordonnées de B sont (1/2a ; 0). Du coup, B est le milieu du segment [OH].
4. Euh...je suppose qu'il faut juste dire que pour tracer la tangente au point A, il suffit de tracer la droite qui passe par le point A et qui coupe l'axe des abscisses en a/2...
5. Là, il faut que tu compare la courbe de ta parabole à la droite de ta tangente. Que tu regardes quand P<T et quand P>T. pour faire ça, on regarde en fait quand est-ce que P-T>0 et P-T<0.
Donc tu calcule la fonction P-T (disons g): [tex]g(x)=kx^2-2kax+ka^2[/tex]
Ce qui te donne une belmle fonction polynômiale de degré 2; tu fais une étude de signe (recherche des solutions, tableau de signe).
6. Ben tu remplace k par 2 et a par 1 et tu fais les calculs avec les formules trouvées avant.
Exercice 2:
Un peu le même principe que le 1 mais sans questions détaillées. Tu considère un point A d'abscisse a
Tu veux que la tangente passe par l'origine, donc son équation est de la fomre y=mx (plus de p, vu que p est l'ordonnée à l'origine, donc 0)
Ta tangente a pour équation y=mx avec m=f'(a) et f(a)=ma (vu que la tangente passe par le point A de coordonnées (a; f(a)) )
Tu cherches la valeur de m avec la première équation (tu l'auras en fonction de a, mais c'est pas grave) et tu remplace dans la deuxième; tu résout ensuite la deuxième équation pour trouver la valeur de a. (en théorie, tu auras deux solutions opposées, genre a et -a). Tu calcules les ordonnées correspondantes (f(a)) et tu as tes deux points.
