Bonjour Pricilaaaa68
(Dessin en pièce jointe)
1) Démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle en B.
[tex]\overrightarrow{AB}\ :\ (x_B-x_A;y_B-y_A)=(0-1;\sqrt{2}-4-\sqrt{2})=(-1;-4)\\\\\boxed{\overrightarrow{AB}\ :\ (-1\ ;\ -4)}[/tex]
[tex]\overrightarrow{AC}\ :\ (x_C-x_A;y_C-y_A)=(4-1;\sqrt{2}-5-\sqrt{2})=(3;-5)\\\\\boxed{\overrightarrow{AC}\ :\ (3\ ;\ -5)}[/tex]
[tex]\overrightarrow{BC}\ :\ (x_C-x_B;y_C-y_B)=(4-0;\sqrt{2}-5-\sqrt{2}+4)=(4;-1)\\\\\boxed{\overrightarrow{BC}\ :\ (4\ ;\ -1)}[/tex]
[tex]AB^2=(-1)^2+(-4)^2=1+16=17\\BC^2=4^2+(-1)^2=16+1=17\\AC^2=3^2+(-5)^2=9+25=34[/tex]
34 = 17 + 17
D'où [tex]\boxed{AC^2=AB^2+AC^2}[/tex]
Par conséquent, selon la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle et [AC] est l'hypoténuse.
Donc le triangle ABC est rectangle en B.
[tex]AB^2=17\Longrightarrow AB=\sqrt{17}\\BC^2=17\Longrightarrow BC=\sqrt{17}[/tex]
Puisque AB = BC, le triangle ABC est isocèle en B.
On en déduit alors que le triangle ABC est rectangle et isocèle en B.
2) a. Calculer les coordonnées du centre M du cercle circonscrit au triangle ABC
Le triangle ABC étant rectangle en B, il est inscriptible dans un cercle dont le diamètre est [AC].
Le centre M de ce cercle est donc le milieu de [AC]
[tex](x_M;y_M)=(\dfrac{x_A+x_C}{2};\dfrac{y_A+y_C}{2})=(\dfrac{1+4}{2};\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{2}-5}{2})\\\\(x_M;y_M)=(\dfrac{5}{2};\dfrac{2\sqrt{2}-5}{2})[/tex]
[tex](x_M;y_M)=(2,5\ ;\ \sqrt{2}-2,5)[/tex]
D'où les coordonnées du point M sont [tex]\boxed{M(2,5\ ;\ \sqrt{2}-2,5)}[/tex]
b. Calculer les coordonnées des centres respectifs P et Q des cercles circonscrits aux triangle MAB et MBC.
Le triangle ABC étant isocèle, la médiane [BM] est également la médiatrice de [AC].
D'où les droites (BM) et (AC) sont perpendiculaires.
Par conséquent, les triangles MAB et MBC sont rectangles en M.
Il sont inscriptibles dans des cercles dont les diamètres sont [AB] et [BC].
Les centres P et Q de ces cercles sont respectivement les milieux des segments [AB] et [BC].
[tex](x_P;y_P)=(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2})=(\dfrac{1+0}{2};\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{2}-4}{2})\\\\(x_P;y_P)=(\dfrac{1}{2};\dfrac{2\sqrt{2}-4}{2})=(0,5;\sqrt{2}-2)[/tex]
[tex](x_Q;y_Q)=(\dfrac{x_B+x_C}{2};\dfrac{y_B+y_C}{2})=(\dfrac{0+4}{2};\dfrac{\sqrt{2}-4+\sqrt{2}-5}{2})\\\\(x_Q;y_Q)=(\dfrac{4}{2};\dfrac{2\sqrt{2}-9}{2})=(2;\sqrt{2}-4,5)[/tex]
D'où [tex]\boxed{P(0,5\ ;\ \sqrt{2}-2)\ \ et\ \ Q(2\ ;\ \sqrt{2}-4,5)}[/tex]
