soit d une droite tangente aux deux courbes
d est une droite d'équation y =ax+b
nécessairement l'équation x² +1 =ax +b a une solution double
le delta est donc nul
x² -ax +1 -b = 0
delta = a² -4(1-b)= 0 d'où forcément a² =4(1-b) ou
a²/4 = 1-b et b = 1 -a²/4
de même l'équation -2/x + 4 =ax+b a une solution double aussi
cette équation peut s'écrire aussi
-2+4x = ax² + bx
ax² + (b-4)x +2 = 0 delta = (b-4)² - 8a = 0
donc (b-4)² = 8a ( 1-a²/4 - 4)² = 8a
( -3 -a²/4)² = 8a
9 + 3a²/2 + a^4/16 = 8a
considérons la fonction g(a)=a^4/16 + 3a²/2 - 8a + 9
résoudre 9 + 3a²/2 + a^4/16 = 8a reviendra à résoudre
g(a)= 0
la dérivée de g est g '(a)= a^3/4 + 3a -8
sa dérivée seconde est
g ''(a)= 3a²/4 + 3 ce qui est positif
g '(a) est donc strictement croissante et passe de -inf à + inf donc s'annule une seule fois
( pour a=2) g'(a) est négative pour a<2 puis positive pour a>2
donc g est décroissante puis croissante elle admet un minimum qui est
g(2)= 16/16+12/2 -16+9 = 0
la seule solution à l'équation g(a)=0 est a=2
maintenant on calcule b=1-4/4=0
en conclusion la seule droite tangente aux deux courbes des fonctions f et g
est la droite d'équation y =2x
de x² +1 =2x on déduit facilement x= 1
et de - 2/x + 4 = 2x on déduit
-2+4x = 2x² 2x² -4x + 2 =0 2(x-1)²=0 x=1 aussi
la droite y =2x est donc tangente aux deux courbes au point A
