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PAULINELIMBOURVIZ
résolu

!!!! JE DONNE 19 POINTS !!!!

Bonjour j’ai vraiment du mal sur cet exercice sur les vecteurs niveau seconde, pouvez-vous m’aider? Merci! (les lettres sont des vecteurs)



Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, I, J). Soit A (-1 ; 2), B (3 ; -4) et C (6 ; 0).

1) On considère le point G tel que G(x, y) et le vecteur u tel que u= AG+BG+CG. Déterminer les coordonnées du vecteur u en fonction de x et y.



2) On suppose pour la suite de l’exercice que u=0. Déterminer x et y.





3) Déterminer les coordonnées du point A’ milieu de [BC]. Montrer que les points A, G et A’ sont alignés.






4) Déterminer les coordonnées du point B’ milieu de [AC]. Montrer que les points B, G et B’ sont alignés.





5) Que peut-on déduire en ce qui concerne le point G ?

Répondre :

Bonjour,
1) On calcule d'abord les coordonnées de AG, BG et CG et on note u(Xu;Yu)
AG a pour coordonnées (x-(-1);y-2) soit (x+1;y-2)
BG a pour coordonnées (x-3;y-(-4)) soit (x-3;y+4)
CG a pour coordonnées (x-6;y-0) soit (x-6;y)
Donc Xu=x+1+x-3+x-6=3x-8
et Yu=y-2+y+4+y=3y+2
u(3x-8;3y+2)

2) u=0 donc Xu=0 et Yu=0
Soit 3x-8=0 et x=8/3
et 3y+2=0 et y=-2/3

3) Notons A'(Xa';Ya')
Xa'=(Xb+Xc)/2=(3+6)/2=9/2
Ya'=(Yb+Yc)/2=(-4+0)/2=-2
Donc A'(9/2;-2)
On calcule les coordonnées de AG et AA'
AG a pour coordonnées (8/3-(-1);-2/3-2) soit (11/3;-8/3)
AA' a pour coordonnées (9/2-(-1);-2-2) soit (11/2;-4)
Donc AG=2/3*AA'
AA' et AG sont donc colinéaires donc A, G et A' sont alignés.

4) Notons B'(Xb';Yb')
Xb'=(Xa+Xc)/2=(-1+6)/2=5/2
Yb'=(Ya+Yc)/2=(2+0)/2=1
Donc B'(5/2;1)
On calcule les coordonnées de BG et BB'
BG a pour coordonnées (8/3-3;-2/3-(-4)) soit (-1/3;10/3)
BB' a pour coordonnées (5/2-3;1-(-4)) soit (-1/2;5)
Donc BG=2/3*BB'
BB' et BG sont donc colinéaires donc B, G et B' sont alignés.

5) AA' est la médiane relative au côté BC
BB' est la médiane relative au côté AC
G est l'intersection de AA' et BB' donc G est le centre de gravité du triangle.
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