Exercice 1
1)* signifie multiplié par
x²-4 - (-x+2)/x (on met tout au même dénominateur, ici x)
= x*x²/x -4x/x - (-x+2)/x
= [x*x²-4x - (-x+2)]/x (dans x*x²-4x on peut mettre x en facteur on obtient x(x²-4))
= [x(x²-4) +x-2]/x (x²-4 est une identité remarquable de la forme a²-b²= (a-b)(a+b) avec a = x et b = 2 donc x²-2²=(x-2)(x+2))
= [x(x-2)(x+2) +(x-2)]/x (on met x-2 en facteur)
= (x-2)[x(x+2)+1]/x
= (x-2)(x²+2x+1)/x (or x²+2x+1 est une identité remarquable de la forme a²+2ab+b²= avec a=x et b=1 donc x²+2x+1=(x+1)²
= (x-2)(x+1)²/x
Voici la même chose sans explication mais avec mise en forme. J'espère que tu comprendras.
[tex] x^{2} -4 - \frac{-x+2}{x} = \frac{x* x^{2} }{x} - \frac{4x}{x} - \frac{-x+2}{x} [/tex]
[tex]= \frac{x* x^{2} -4x-(-x+2)}{x} = \frac{x( x^{2} -4)-(-x+2)}{x} = \frac{x( x+2)(x-2)+(x-2)}{x} [/tex]
[tex]= \frac{(x-2)[x(x+2)+1]}{x} = \frac{(x-2)( x^{2} +2x+1)}{x} = \frac{(x-2)( x+1) ^{2} }{x} [/tex]
2) x²-4 > (-x+2)/x
x²-4 - (-x+2)/x > 0
(x-2)(x+1)²/x > 0
(x+1)² >ou= 0
x-2 > 0 donc x > 2
donc pour x > 2, (x-2)(x+1)²>0 et sur l'intervalle ]2;-oo[, x > 0 donc (x-2)(x+1)²/x > 0
d’où
x²-4 > (-x+2)/x pour x ∈ ]2;-oo[
Exercice 3
B(x) = (2x-1)² - 2(4x²-1)
1) (2x-1)² = (2x-1)(2x-1)
et 4x²-1 on remarque que 4x² = (2x)² et 1 = 1² donc 4x²-1 = (2x)² - 1² est une identité remarquable de la forme a²-b² = (a-b)(a+b) avec a = 2x et b = 1 donc
4x²-1 = (2x-1)(2x+1)
d'où
B(x) = (2x-1)(2x-1) - 2(2x-1)(2x+1)
on peut mettre 2x-1 en facteur
B(x) = (2x-1)[(2x-1) - 2(2x+1)]
B(x) = (2x-1)[2x-1 - 4x-2]
B(x) = (2x-1)(-2x-3)
2) 2x-1 = 0 pour x= 1/2
-2x-3 = 0 pour x = -3/2
voir tableau de signe en fichier joint
Conclusion
B(x) >ou= 0 pour x ∈ [-3/2 ; 1/2]
