bonsoir
ce sont des vecteurs
partie A
1) et 2 ) en fichier joint
3)
On
a d'après l 'énoncé
GA+GB+GC=0
donc
avec Chasles, si on décompose GB et GC :
GA+(GA+AB)
+(GA+AC)=0
on
additionne les GA
3GA+
AB+AC = 0
-3GA
= AB+AC
on
sait que GA
= - AG
3AG=AB+AC
on décompose AB
et AC en faisant intervenir le point A'
3AG=AA'+A'B+AA'+A'C
=
2AA'+A'B+A'C
mais
on sait d'après l'énoncé que A' milieu de BC
donc
A'B=- A'C =>
A'B+A'C = 0
3AG=
2AA'
AG=
2/3 AA'
les
points A;G;A' sont alignés
car les vecteurs AG et AA' sont
colinéaires
4)
(AA');(BB') ; (CC') sont les médianes du triangles ABC
elles sont issues du sommet et coupent le côté opposé en leur milieu.
G
se situe au 2/3 de la médiane,à partir du sommet
donc
G est le centre de gravité du triangle ABC
partie
B
1)
A(2;3)
B(4;5) C(8;3)
On
a d'après l 'énoncé
GA+GB+GC=0
on
fait intervenir le point O', le centre du repère (0,0)
GO'
+O'A+GO' +O'B+GO' +O'C=0
3GO'
+ O'A+O'B+O'C = 0
O'A+O'B+O'C
= - 3GO' = 3O'G
O'G=
(O'A+O'B+O'C )/ 3
on
calcule vect O'A ;
vect O'B ;
vect O'C
O'A
(xa-xo ; ya-yo) => (2-0;3-0) => ( 2;3)
idem
pour O'B et O'C
O'B
(4;5)
O'C(8;3)
xO'G
=> (2+4+8)/3 = 14/3
yO'G
=> (3+5+3)/3 = 11/3
coordonnées
de G( 14/3;11/3 )
dans
le repère (O',i,j)
2)
voir graphique en
fichier joint
ne
pas confondre O, centre du cercle circonscrit de coordonnées (5;2)
et
O' qui est le centre du repère de coordonnées (0;0)
on
calcule coordonnées vect.OG
(xg-xo ;
yg-yo)
vectOG
( 14/3-5 ;11/3-2 )
vectOG
( -1/3 ;5/3 )
on
calcule coordonnées vect.OH
(xh-xo ;
yh-yo)
VectOH
(4-5;7-2)
VectOH
(-1;5)
on
vérifie la relation de colinéarité
x'y-xy'=0
-1/3 x
5 - 5/3 x-1 =-5/3+5/3 =0
donc
les vecteurs OG et OH sont colinéaires
=>
les points O ;H ;G sont alignés
ils
sont sur une même droite ( voir graphique)
c'est
la droite d'Euler
4)
vectOG
( -1/3 ;5/3 )
VectOH
(-1;5)
-1
x 1/3 = -1/3
5
x 1/3= 5
or
( -1/3 ;5/3 ) sont les coordonnées de OG
donc
a a bien OG = 1/3 OH
ce sont des vecteurs n'oublie pas de mettre la flèche au dessus
