Bonjour Shiboulaille
1) Résoudre [tex](x-3)(2x^2-x-3)\ \textgreater \ 0[/tex]
Tableau de signes.
Racines :
x - 3 = 0 ==> x = 3
[tex]2x^2-x-3=0\\\Delta=(-1)^2-4\times2\times(-3)=1+24=25\\x_1=\dfrac{1-\sqrt{25}}{4}=\dfrac{1-5}{4}=\dfrac{-4}{4}=-1\\x_2=\dfrac{1+\sqrt{25}}{4}=\dfrac{1+5}{4}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccccccc|} x&-\infty&&-1&&\frac{3}{2}&&3&&+\infty \\x-3&&-&-&-&-&-&0&+&\\2x^2-x-3&&+&0&-&0&+&+&+&\\(x-3)(2x^2-x-3)&&-&0&+&0&-&0&+&\\ \end{array}[/tex]
[tex](x-3)(2x^2-x-3)\ \textgreater \ 0\Longleftrightarrow \boxed{x\in\ ]-1\ ;\ \dfrac{3}{2}[\ \cup\ ]3\ ;\ +\infty[}[/tex]
L'ensemble des solutions de l'inéquation est [tex]\boxed{S= ]-1\ ;\ \dfrac{3}{2}[\ \cup\ ]3\ ;\ +\infty[}[/tex]
2) Résoudre [tex]\dfrac{-x^2+x+6}{-2x^2+6x-5}\ \textgreater \ 0[/tex]
Tableau de signes.
Racines :
Numérateur :
[tex]-x^2+x+6=0\\\Delta=1^2-4\times(-1)\times6=1+24=25\\x_1=\dfrac{-1-\sqrt{25}}{-2}=\dfrac{-1-5}{-2}=\dfrac{-6}{-2}=3\\x_2=\dfrac{-1+\sqrt{25}}{-2}=\dfrac{-1+5}{-2}=\dfrac{4}{-2}=-2[/tex]
Dénominateur :
[tex]-2x^2+6x-5=0\\\Delta=6^2-4\times(-2)\times(-5)=36-40\ \textless \ 0\\pas\ de\ racine[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-2&&3&&+\infty \\-x^2+x+6&&-&0&+&0&-&\\-2x^2+6x-5&&-&-&-&-&-&\\\frac{-x^2+x+6}{-2x^2+6x-5}&&+&0&-&0&+&\\ \end{array}[/tex]
[tex]\dfrac{-x^2+x+6}{-2x^2+6x-5}\ \textgreater \ 0\Longleftrightarrow \boxed{x\ \in\ ]-\infty\ ;\ -2[\ \cup\ ]3\ ;\ +\infty[}[/tex]
L'ensemble des solutions de l'inéquation est [tex]\boxed{S= ]-\infty\ ;\ -2[\ \cup\ ]3\ ;\ +\infty[}[/tex]
