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Bonjour Emiliedemaison
[tex]f(x) = 2x [a (\ln x)^2 + b (\ln x) + c][/tex]
1. a. Exprimer f '(x) en fonction de a, b et c.
[tex]f(x) = 2x [a(\ln x)^2+b (\ln x)+c]\\\\f '(x) = (2x)' [a (\ln x)^2+b(\ln x) + c] + 2x[a(\ln x)^2+b (\ln x)+c]'[/tex]
[tex]f '(x) = 2 [a (\ln x)^2+b(\ln x) + c] + 2x[a\times2(\ln x)\times\dfrac{1}{x}+b\times\dfrac{1}{x}]\\\\f '(x) = 2a (\ln x)^2+2b(\ln x) + 2c + 4a(\ln x)+2b\\\\\boxed{f '(x) = 2a (\ln x)^2+(2b+4a)(\ln x) +2b+ 2c}[/tex]
b. Déterminer graphiquement les valeurs de : f '( 1/e ), f '(√e) et f '(e).
[tex]\boxed{f'(\dfrac{1}{e})=0}\ et\ \boxed{f'(\sqrt{e})=0}[/tex] car les tangentes aux points d’abscisses 1/e et √e sont horizontales.
La tangente à la courbe au point d'abscisse e passe par les points (e ; 2e) et (e/2 ; 0)
Calculons sa pente.
[tex]\dfrac{2e-0}{e-\dfrac{e}{2}}=\dfrac{2e}{\dfrac{e}{2}}=2e\times\dfrac{2}{e}=\dfrac{4e}{e}=4[/tex]
Par conséquent, [tex]\boxed{f'(e)=4}[/tex]
c. En déduire pour tout x ∈ ]0 ;+oo[ l’égalité : f(x) = 2x[2(ln x)² - 3(ln x) + 2].
[tex]f '(x) = 2a (\ln x)^2+(2b+4a)(\ln x) +2b+ 2c\\\\f '(\dfrac{1}{e}) = 2a[\ln (\dfrac{1}{e})]^2+(2b+4a)[\ln (\dfrac{1}{e})] +2b+ 2c\\\\f '(\dfrac{1}{e}) = 2a[\ln (e^{-1})]^2+(2b+4a)[\ln (e^{-1})] +2b+ 2c[/tex]
[tex]\\\\f '(\dfrac{1}{e}) = 2a\times(-1)^2+(2b+4a)\times(-1) +2b+ 2c\\\\f '(\dfrac{1}{e}) = 2a-2b-4a +2b+ 2c\\\\\boxed{f '(\dfrac{1}{e}) = -2a+ 2c}[/tex]
[tex]f '(x) = 2a (\ln x)^2+(2b+4a)(\ln x) +2b+ 2c\\\\f '(\sqrt{e}) = 2a [\ln(\sqrt{e})]^2+(2b+4a)[\ln (\sqrt{e})] +2b+ 2c\\\\f '(\sqrt{e}) = 2a [\ln(e^{\frac{1}{2}})]^2+(2b+4a)[\ln (e^{\frac{1}{2}})] +2b+ 2c\\\\f '(\sqrt{e}) = 2a\times(\dfrac{1}{2}})^2+(2b+4a)\times\dfrac{1}{2} +2b+ 2c[/tex]
[tex]\\\\f '(\sqrt{e}) = 2a\times\dfrac{1}{4}+b+2a +2b+ 2c\\\\f '(\sqrt{e}) = \dfrac{a}{2}+2a +3b+ 2c\\\\\boxed{f '(\sqrt{e}) = \dfrac{5a}{2} +3b+ 2c}[/tex]
[tex]f '(x) = 2a (\ln x)^2+(2b+4a)(\ln x) +2b+ 2c\\\\f '(e) = 2a (\ln e)^2+(2b+4a)(\ln e) +2b+ 2c\\\\f '(e) = 2a\times1^2+(2b+4a)\times1 +2b+ 2c\\\\f '(e) = 2a+2b+4a+2b+ 2c\\\\\boxed{f '(e) = 6a+4b+2c}[/tex]
D'où
[tex]\left\{\begin{matrix}f'(\dfrac{1}{e})=0\\f'(\sqrt{e})=0\\f'(e)=4\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\{\begin{matrix} -2a+ 2c=0\\\dfrac{5a}{2} +3b+ 2c=0\\6a+4b+2c=4\end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix} a=c\\5a +6b+ 4c=0\\6a+4b+2c=4\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix} a=c\\5c +6b+ 4c=0\\6c+4b+2c=4\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix} a=c\\6b+ 9c=0\\4b+8c=4\end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\ \ \ \ \left\{\begin{matrix} a=c\\6b+ 9c=0\\b+2c=1\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix} a=c\\6b+ 9c=0\\b=1-2c\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix} a=c\\6(1-2c)+ 9c=0\\b=1-2c\end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\ \ \ \ \left\{\begin{matrix} a=c\\6-12c+ 9c=0\\b=1-2c\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix} a=c\\6-3c=0\\b=1-2c\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix} a=c\\c=2\\b=1-2c\end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\ \ \ \ \left\{\begin{matrix} a=2\\c=2\\b=1-4\end{matrix}\right.\ \ \ \ \boxed{\left\{\begin{matrix} a=2\\c=2\\b=-3\end{matrix}\right.}[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{f(x) =2x [2 (\ln x)^2 -3(\ln x) + 2]}[/tex]
2.a. Montrer que pour tout x ∈ ]0 ;+00[, on a : f '(x) = 2 (ln(x) + 1) (2 ln(x) - 1)
Nous savons que [tex]f '(x) = 2a (\ln x)^2+(2b+4a)(\ln x) +2b+ 2c[/tex] avec a = 2, b = -3 et c = 2.
Donc
[tex]f '(x) = 4 (\ln x)^2+(-6+8)(\ln x) -6+4\\\\f '(x) = 4 (\ln x)^2+2(\ln x) -2[/tex]
Vérifions alors que [tex]2 (\ln(x) + 1) (2 \ln(x) - 1)=4 (\ln x)^2+2(\ln x) -2[/tex]
en effet ,
[tex]2 (\ln(x) + 1) (2 \ln(x) - 1)=2 [2(\ln(x))^2-\ln(x)+2\ln(x)- 1]\\\\2 (\ln(x) + 1) (2 \ln(x) - 1)=2 [2(\ln(x))^2+\ln(x)- 1]\\\\2 (\ln(x) + 1) (2 \ln(x) - 1)=4(\ln(x))^2+2\ln(x)-2[/tex]
Par conséquent, [tex]\boxed{f'(x)=2 (\ln(x) + 1) (2 \ln(x) - 1)}[/tex]
b. En déduire le sens de variation de f.
Etudions le signe de la dérivée.
Racines :
[tex]2(\ln(x)+1)=0\Longrightarrow\ln(x)=-1\Longrightarrow x=e^{-1}\Longrightarrow x=\dfrac{1}{e}\\\\2\ln(x)-1=0\Longrightarrow\ln(x)=\dfrac{1}{2}\Longrightarrow x=e^{\frac{1}{2}}\Longrightarrow x=\sqrt{e}[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&0&&\frac{1}{e}&&\sqrt{e}&&+\infty \\ 2 (\ln(x) + 1)&&-&0&+&&+&\\2 \ln(x) - 1&&-&&-&0&+&\\f'(x)&&+&0&-&0&+&\\f(x)&&\nearrow&\dfrac{14}{e}&\searrow&2\sqrt{e}&\nearrow&\\ \end{array}\\\\.[/tex]
Par conséquent,
f est croissante sur l'ensemble ]0 ; 1/e] U [√e ; +oo[
f est décroissante sur l'intervalle [1/e ; √e]
c. Valeurs exactes des extrema locaux de f.
La fonction f admet un maximum égal à 14/e.
Ce maximum est atteint pour x = 1/e.
La fonction admet un minimum égal à 2√e.
Ce minimum est atteint pour x = √e.
[tex]f(x) = 2x [a (\ln x)^2 + b (\ln x) + c][/tex]
1. a. Exprimer f '(x) en fonction de a, b et c.
[tex]f(x) = 2x [a(\ln x)^2+b (\ln x)+c]\\\\f '(x) = (2x)' [a (\ln x)^2+b(\ln x) + c] + 2x[a(\ln x)^2+b (\ln x)+c]'[/tex]
[tex]f '(x) = 2 [a (\ln x)^2+b(\ln x) + c] + 2x[a\times2(\ln x)\times\dfrac{1}{x}+b\times\dfrac{1}{x}]\\\\f '(x) = 2a (\ln x)^2+2b(\ln x) + 2c + 4a(\ln x)+2b\\\\\boxed{f '(x) = 2a (\ln x)^2+(2b+4a)(\ln x) +2b+ 2c}[/tex]
b. Déterminer graphiquement les valeurs de : f '( 1/e ), f '(√e) et f '(e).
[tex]\boxed{f'(\dfrac{1}{e})=0}\ et\ \boxed{f'(\sqrt{e})=0}[/tex] car les tangentes aux points d’abscisses 1/e et √e sont horizontales.
La tangente à la courbe au point d'abscisse e passe par les points (e ; 2e) et (e/2 ; 0)
Calculons sa pente.
[tex]\dfrac{2e-0}{e-\dfrac{e}{2}}=\dfrac{2e}{\dfrac{e}{2}}=2e\times\dfrac{2}{e}=\dfrac{4e}{e}=4[/tex]
Par conséquent, [tex]\boxed{f'(e)=4}[/tex]
c. En déduire pour tout x ∈ ]0 ;+oo[ l’égalité : f(x) = 2x[2(ln x)² - 3(ln x) + 2].
[tex]f '(x) = 2a (\ln x)^2+(2b+4a)(\ln x) +2b+ 2c\\\\f '(\dfrac{1}{e}) = 2a[\ln (\dfrac{1}{e})]^2+(2b+4a)[\ln (\dfrac{1}{e})] +2b+ 2c\\\\f '(\dfrac{1}{e}) = 2a[\ln (e^{-1})]^2+(2b+4a)[\ln (e^{-1})] +2b+ 2c[/tex]
[tex]\\\\f '(\dfrac{1}{e}) = 2a\times(-1)^2+(2b+4a)\times(-1) +2b+ 2c\\\\f '(\dfrac{1}{e}) = 2a-2b-4a +2b+ 2c\\\\\boxed{f '(\dfrac{1}{e}) = -2a+ 2c}[/tex]
[tex]f '(x) = 2a (\ln x)^2+(2b+4a)(\ln x) +2b+ 2c\\\\f '(\sqrt{e}) = 2a [\ln(\sqrt{e})]^2+(2b+4a)[\ln (\sqrt{e})] +2b+ 2c\\\\f '(\sqrt{e}) = 2a [\ln(e^{\frac{1}{2}})]^2+(2b+4a)[\ln (e^{\frac{1}{2}})] +2b+ 2c\\\\f '(\sqrt{e}) = 2a\times(\dfrac{1}{2}})^2+(2b+4a)\times\dfrac{1}{2} +2b+ 2c[/tex]
[tex]\\\\f '(\sqrt{e}) = 2a\times\dfrac{1}{4}+b+2a +2b+ 2c\\\\f '(\sqrt{e}) = \dfrac{a}{2}+2a +3b+ 2c\\\\\boxed{f '(\sqrt{e}) = \dfrac{5a}{2} +3b+ 2c}[/tex]
[tex]f '(x) = 2a (\ln x)^2+(2b+4a)(\ln x) +2b+ 2c\\\\f '(e) = 2a (\ln e)^2+(2b+4a)(\ln e) +2b+ 2c\\\\f '(e) = 2a\times1^2+(2b+4a)\times1 +2b+ 2c\\\\f '(e) = 2a+2b+4a+2b+ 2c\\\\\boxed{f '(e) = 6a+4b+2c}[/tex]
D'où
[tex]\left\{\begin{matrix}f'(\dfrac{1}{e})=0\\f'(\sqrt{e})=0\\f'(e)=4\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\{\begin{matrix} -2a+ 2c=0\\\dfrac{5a}{2} +3b+ 2c=0\\6a+4b+2c=4\end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix} a=c\\5a +6b+ 4c=0\\6a+4b+2c=4\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix} a=c\\5c +6b+ 4c=0\\6c+4b+2c=4\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix} a=c\\6b+ 9c=0\\4b+8c=4\end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\ \ \ \ \left\{\begin{matrix} a=c\\6b+ 9c=0\\b+2c=1\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix} a=c\\6b+ 9c=0\\b=1-2c\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix} a=c\\6(1-2c)+ 9c=0\\b=1-2c\end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\ \ \ \ \left\{\begin{matrix} a=c\\6-12c+ 9c=0\\b=1-2c\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix} a=c\\6-3c=0\\b=1-2c\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix} a=c\\c=2\\b=1-2c\end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\ \ \ \ \left\{\begin{matrix} a=2\\c=2\\b=1-4\end{matrix}\right.\ \ \ \ \boxed{\left\{\begin{matrix} a=2\\c=2\\b=-3\end{matrix}\right.}[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{f(x) =2x [2 (\ln x)^2 -3(\ln x) + 2]}[/tex]
2.a. Montrer que pour tout x ∈ ]0 ;+00[, on a : f '(x) = 2 (ln(x) + 1) (2 ln(x) - 1)
Nous savons que [tex]f '(x) = 2a (\ln x)^2+(2b+4a)(\ln x) +2b+ 2c[/tex] avec a = 2, b = -3 et c = 2.
Donc
[tex]f '(x) = 4 (\ln x)^2+(-6+8)(\ln x) -6+4\\\\f '(x) = 4 (\ln x)^2+2(\ln x) -2[/tex]
Vérifions alors que [tex]2 (\ln(x) + 1) (2 \ln(x) - 1)=4 (\ln x)^2+2(\ln x) -2[/tex]
en effet ,
[tex]2 (\ln(x) + 1) (2 \ln(x) - 1)=2 [2(\ln(x))^2-\ln(x)+2\ln(x)- 1]\\\\2 (\ln(x) + 1) (2 \ln(x) - 1)=2 [2(\ln(x))^2+\ln(x)- 1]\\\\2 (\ln(x) + 1) (2 \ln(x) - 1)=4(\ln(x))^2+2\ln(x)-2[/tex]
Par conséquent, [tex]\boxed{f'(x)=2 (\ln(x) + 1) (2 \ln(x) - 1)}[/tex]
b. En déduire le sens de variation de f.
Etudions le signe de la dérivée.
Racines :
[tex]2(\ln(x)+1)=0\Longrightarrow\ln(x)=-1\Longrightarrow x=e^{-1}\Longrightarrow x=\dfrac{1}{e}\\\\2\ln(x)-1=0\Longrightarrow\ln(x)=\dfrac{1}{2}\Longrightarrow x=e^{\frac{1}{2}}\Longrightarrow x=\sqrt{e}[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&0&&\frac{1}{e}&&\sqrt{e}&&+\infty \\ 2 (\ln(x) + 1)&&-&0&+&&+&\\2 \ln(x) - 1&&-&&-&0&+&\\f'(x)&&+&0&-&0&+&\\f(x)&&\nearrow&\dfrac{14}{e}&\searrow&2\sqrt{e}&\nearrow&\\ \end{array}\\\\.[/tex]
Par conséquent,
f est croissante sur l'ensemble ]0 ; 1/e] U [√e ; +oo[
f est décroissante sur l'intervalle [1/e ; √e]
c. Valeurs exactes des extrema locaux de f.
La fonction f admet un maximum égal à 14/e.
Ce maximum est atteint pour x = 1/e.
La fonction admet un minimum égal à 2√e.
Ce minimum est atteint pour x = √e.
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