Bonjour,
a) Puisque le point I est le milieu du segment [AB], alrors, les vecteurs IA et IB sont opposés donc, IA+IB=0 ( vecteur nul)
b) soit M un point du plan
On a: IA+IB=0 ( on parle des vecteurs)
donc, (IM+MB) + ( IM+MB) = 0 (relation Chasles appliquée au vect IA et IB)
donc, 2IM = -MA -MB
-2MI = - ( MA+MB)
Donc, MI = 1/2(MA+MB). ( on parle des vecteurs)
2) A' est le milieu de [BC], A est un point, donc d'après l'égalité démontré en b)
on a: AA' = 1/2(AB + AC) ( on parle des vecteurs)
De meme, B' est le milieu de [AC], donc, BB'= 1/2(BA+BC). ( vecteurs)
Et C' est le milieu de [BA], donc, CC' = 1/2(CA +CB) ( vecteurs)
Donc, AA' +BB' +CC' = 1/2(AB+AC) +1/2(BA+BC) + 1/2(CA+CB)
AA'+BB' +CC' =1/2( AB+AC+BA+BC+CA+CB)
on a : AB+BA=0 et AC +CA =0 et BC+CB=0 car sont des vect opposés.
Donc AA'+BB'+CC' =0 ( vect nul)
3) G est le centre d gravité de ABC donc:
GA= -2GA' et GB=-2GB' et GC= -2GC'
En appliquant une autre fois l'égalité démontré en b)
GA' = 1/2(GB+GC) et GB' =1/2( GA+GC) et GC' = 1/2(GA+GB)
donc -2GA' =-(GB+GC); -2GB'=-(GA+GC); -2GC'=-(GA+GB)
Donc, GA+GB+GC= -(GB+GC) -(GA+GC) -(GA+GB)
GA+GB+GC= -2GB-2GC-2GA
GA+2GA + GB +2GB +GC +2GC =0
donc, 3GA+3GB+3GC=0
donc, GA+GB+GC=0
Remarque: j'ai travaillé avec les vecteurs, meme si je n'ai pas mis de fleche dessus.
