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résolu

Bonjour, mon professeur de mathématiques nous a demandé de faire plusieurs
exercices pendant les vacances et je bloque sur l'un d'entre eux. Tout aide
sera la bienvenue.

Voici le sujet :

Le plan est muni d'un repère orthogonal.

Une fonction f, définie et dérivable sur R, est représentée par une courbe
C qui passe par le point A(0;1). De plus en tout point de C d'abscisse a
réel, la tangente coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse a-1.

Démontrer que la fonction f est la fonction exponentielle.Merci d'avance!

Répondre :

LAURANCEVIZ
la tangente a pour équation   y = f '(a)(x-a) + f(a) 
avec   pour  x=a-1  y=0 d'où     0 = f'(a)(a-1-a) +f(a)
0=f'(a)(-1) + f(a)   d'où    f '(a)= f(a) 
de plus  f(0)= 1  car la courbe  C  passe par le point A(0;1)
les 2 propriétés
f '(a)= f(a) et  f(0)=1 caractérisent la fonction exponentielle
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