Bonjour La7etbanon874
Partie A :
[tex]f(x)=\dfrac{1+\ln x}{x}[/tex]
[tex]1)\ f'(x)=\dfrac{(1+\lnx)'\times x-(1+\ln x)\times x'}
{x^2}\\\\f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-(1+\ln x)\times 1}{x^2}\\\\f'(x)=\dfrac{1-1-\ln x}{x^2}\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{-\ln x}{x^2}}[/tex]
Signe de f'(x) et variations de f:
racines : numérateur : -ln x = 0 ==> ln x = 0 ==> x = 1
dénominateur : 0
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&1&&5 \\ -ln x&||&+&0&-&\\ x^2&0&+&+&+&\\f'(x)&||&+&0&-&\\f(x)&||&\nearrow&1&\searrow&0,52\\ \end{array}[/tex]
Donc f est croissante sur l'intervalle ]0 ; 1] et est décroissante sur l'intervalle [1 ; 5]
[tex]2)\ f(x)=0\\\\\dfrac{1+\ln x}{x}=0\\\\1+\ln x=0\\\\\ln x=-1\\\\x=e^{-1}\approx0,37[/tex]
3) Puisque la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; 1[,
[tex]Si\ 0 \ \textless \ x \ \textless \ e^{-1},\ alors\ f(x) \ \textless \ f(e^{-1})\\\\\boxed{Si\ 0 \ \textless \ x \ \textless \ e^{-1},\ alors\ f(x) \ \textless \ 0}[/tex]
De plus
[tex]Si\ e^{-1} \ \textless \ x \ \textless \ 1,\ alors\ f(e^{-1})\ \textless \ f(x)\\\\\boxed{Si\ e^{-1} \ \textless \ x \ \textless \ 1,\ alors\ 0\ \textless \ f(x)}[/tex]
Puisque la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle ]1; 5],
Si 1 < x < 5, alors f(1) > f(x) > f(5)
Si 1 < x < 5, alors 1 > f(x) > 0,52
Si 1 < x < 5, alors f(x) > 0
Par conséquent,
Si 0 < x < 1, alors f(x) < 0
Si 1 < x < 5, alors f(x) > 0
Partie B.
Pour que l'entreprise atteigne le seuil de rentabilité, il suffit que le bénéfice soit positif.
En tenant compte du signe de f(x) dans la partie A, B(q) > 0 si q > [tex]e^{-1}[/tex], soit q > 0,378.
Par conséquent, l'entreprise doit produite au minimum 378 ustensiles de cuisine pour atteindre le seuil de rentabilité.
