a) v(x) = ( 6-2x)(6-2x)(6-2x)= (36-24x +4x²)(6-2x)= 216 -72x -144x +48x² +24x² -8x^3
v(x)= -8x^3 + 72x² - 216x +216
attention la hauteur totale est 8 cm mais sur le schéma on a l'impression que c'est la hauteur du pavé
en fait le pavé a pour hauteur 8 -(6-2x)= 2 + 2x et volume
(2+2x)(6)²= (2+2x)(36)= 72 + 72x
V(x)= 72 + 72x +(-8x^3 + 72x² - 216x +216) = -8x^3 +72x² - 144x +288
V(x)= 8( -x^3 + 9x² - 18x + 36)
b)f(x)= -x^3 + 9x² - 18x + 36
f '(x) = -3x² + 18x - 18 = 3( -x² + 6x - 6)
f'(0)=-18 f'(1)= -3 f '(2)= 6 f '(3)= 9
delta = 36 - 24= 12 solutions : (6+rac(12)/(2) et (6-rac(12))/2
comme (6+rac(12)/(2) = 4,73>3 et (6-rac(12))/2 =1,27 environ
alpha = 1,3 car alpha <3
f '(x) <0 pour 0<x<alpha et f '(x) >0 pour alpha<x<3
c) f décroit pour 0<x<alpha et croit pour alpha<x<3
d) la valeur pour laquelle V est minimal est alpha
Vminimal = V(alpha)
f'(alpha)=0 pour a² = 6a-6 donc V(alpha)=8[ -a(6a-6)+9(6a-6) -18a+36] = 8 [ -6a² + 42a -18 ] = 48 [ -a² +7a -3] = 48[ -6a+6 +7a-3]
V(a)=48(a+3) = 48( (6-rac(12))/2 +3 ) = 24(6-rac(12) ) + 144
=
288 - 24rac(12) = 205 cm3
