Réponse : Bonjour,
1) Il faut résoudre l'équation h(x)=0:
[tex]x^{3}-x=0\\x(x^{2}-1)=0\\x(x-1)(x+1)=0\\x=0\\x=1\\x=-1[/tex].
Les coordonnées des trois points d'intersection entre la courbe h et l'axe des abscisses sont (0;0), (1;0), (-1;0).
2) L'aire demandée est égale à:
[tex]\int_{0}^{2} h(x) dx=\int_{0}^{1} h(x) dx+\int_{1}^{2} h(x) dx[/tex].
h est négative sur [0;1], donc:
[tex]\int_{0}^{1} h(x) dx=\int_{0}^{1} x^{3}-x \; dx=[\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}=\frac{1^{4}}{4}-\frac{1^{2}}{2}-0=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}[/tex].
Puis h est positive sur [1;2]:
[tex]\int_{1}^{2} h(x) dx=\int_{1}^{2} x^{3}-x \; dx=[\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}=\frac{2^{4}}{4}-\frac{2^{2}}{2}-\frac{1^{4}}{4}+\frac{1^{2}}{2}\\=\frac{16}{4}-\frac{4}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=4-2+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}[/tex].
Donc:
[tex]\int_{0}^{2} h(x) dx=-\frac{1}{4}+\frac{9}{4}=2[/tex].
